Topologia działania torusa

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-1M12TDT
Kod Erasmus / ISCED:	11.164 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Topologia działania torusa
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:	Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Strona przedmiotu:	http://duch.mimuw.edu.pl/~aweber/zadania/
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	monograficzne
Wymagania (lista przedmiotów):	Funkcje analityczne 1000-134FAN Geometria różniczkowa I 1000-134GR1 Topologia II 1000-134TP2
Założenia (lista przedmiotów):	Algebra homologiczna I 1000-1M02AH Topologia algebraiczna I 1000-135TA1 Topologia algebraiczna II 1000-135TA2
Założenia (opisowo):	Będę zakładał, że słuchacze wiedzą, co to jest rozmaitość różniczkowa i znają kohomologie przestrzeni topologicznej (lub przynajmniej kohomologie deRhama rozmaitości różniczkowej).
Skrócony opis:	Na wykładzie będą omówione kohomologiczne niezmiennikami działania torusa na rozmaitościach. Przede wszystkim zdefiniuję ekwiwariantne kohomologie dla działania torusa. Szczegółowo zajmiemy się grassmanianami, dla których twierdzenie o lokalizacji pozwala uzyskać interesujące formuły algebraiczne. Jeśli na wykład nie zarejestryją się słuchacze obcojęzyczni, zajęcia będą prowadzone po polsku.
Pełny opis:	Wykład będzie poświęcony rozmaitościom różniczkowym dopuszczającym działanie torusa (produktu okręgów). Wiele ważnych przykładów działań dostarcza zespolona geometria algebraiczna oraz geometria symplektyczna. Bedziemy zajmować się ważnymi niezmiennikami topologicznymi działania: grupami ekwiwariantnych kohomologii. Często dziłanie ma jedynie skończonie wiele punktów stałych. Wtedy twierdzenie o lokalizacji pozwala w zaskakujący sposób powiązać topologię rozmaitości z pewnymi kombinatorycznymi obiektami: GKM-grafami. Ciekawe rezultaty otrzymuje się badając naturalne dziłania torusa na grassmannianach. Prawa rządzące rachunkiem kohomologii grassmanianu przekładają się na tożsamości w ciele funkcji wymiernych wielu zmiennych. Na wykładzie omówię: - Przykłady rozmaitości z działaniem torusa (grassmanniany, rozmaitości flag, rozmaitości toryczne) - Ekwiwariantne kohomologie dla działania torusa - Twierdzenie o lokalizacji Atiyah-Botta (lub Berline-Vergne) - Grafy GKM (Goresky-Kottwitz-MacPherson) - Zastosowanie twierdzenia lokalizacji do rachunku Schuberta na grassmanianach
Literatura:	W. Fulton, Equivariant cohomology in algebraic geometry, lectures at Columbia University, notes by Dave Anderson, 2007. V. Guillemin, S. Sternberg,Supersymmetry and equivariant de Rham theory. Springer-Verlag, Berlin, 1999
Efekty uczenia się:	Znajomość podstawowych narzędzi ekwiwariantnej topologi, znajomość wielu naturalnych przykładów działania torusa na rozmaitościach i uniejętność praktycznego obliczania omawianych niezmienników.
Metody i kryteria oceniania:	Zaliczenie ćwiczeń na podstawie zadań rozwiązywanych na zajęciach (50%) i zadań domowych (50%) Egzamin ustny: problemy do samodzielnego rozwiązania (50%), sprawdzenie znajomości materiału z wykładu (50%)

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.