On-line services of the University of Warsaw You are not logged in | log in
course directory - help

Computational methods in finance

General data

Course ID: 1000-1M16MOF Erasmus code / ISCED: 11.1 / (unknown)
Course title: Computational methods in finance Name in Polish: Metody obliczeniowe w finansach
Department: Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups: Elective courses for 2nd stage studies in Mathematics
ECTS credit allocation (and other scores): (not available)
view allocation of credits
Language: English
Type of course:

elective monographs

Requirements:

Financial Engineering 1000-135IFI

Prerequisites:

Introduction to stochastic analysis 1000-135WAS

Prerequisites (description):

Financial engineering or equivalent

Mode:

Classroom

Short description:

The course will present methods for pricing financial assets. The following topics will be discussed: tree algorithms, Monte Carlo methods, solutions to the Black-Scholes PDE. The course will present convergence problems for SDE of Ito type, parabolic PDE and properties of their solutions, and convergence problems for numerical solutions to parabolic PDE. Mathematical content will be enlarged by examples of numerical valuation of selected instruments.

Full description:

1. Computational methods for pricing financial instruments: tree algorithms, Monte Carlo methods, solutions to the Black-Scholes PDE.

2. Introduction to Monte Carlo methods. Generation of pseudo-random numbers. Low discrepancy sequences (Halton, Sobol) and Quasi Monte Carlo methods. Uniform generators. Generators from other distributions: inverse transform method, acceptance-rejection method, transformations of random variables.

3. Numerical solutions of SDE of Ito type: Euler and Milstein schemes. Week and strong convergence. Order of convergence. Proof of convergence for the Euler scheme. Brief description of the Milstein scheme convergence.

4. Variance reduction: antithetic variates, control variates, importance sampling. Application of variance reduction: VaR of an investment portfolio.

5. Applications of Monte Carlo methods: Asian options, barrier options – Brownian bridge, computation of Greeks.

6. Black-Scholes PDE and its mathematical properties. Linear elliptic and parabolic operators. Maximum principle. First, second and third boundary problem for parabolic equations. Existence and uniqueness for first boundary problem. Existence of nonnegative solutions. Comparison theorems.

7. Finite difference method for linear parabolic PDE. Explicit, implicit and the Crank-Nicolson schemes. Stability – CFL condition. Convergence proofs. Order of convergence. Oscillation of solutions due to first derivatives in equations, upwind scheme. Solution of the Black-Scholes equation.

8. Computations for Black-Scholes PDE: universal scheme for vanilla options, barrier options – boundary conditions, Asian and lookback options.

9. Brief information on other approaches. American options: free boundary problem and penalty method. Finite element method.

Bibliography:

1. Y. Achdou, O. Pironneau. Computational Methods for Option Pricing, SIAM 2005.

2. S. Asmussen, P. Glynn. Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis, Springer 2007

3. L. C. Evans. Równania Różniczkowe Cząstkowe, PWN, Warszawa 2002.

4. P. Glasserman. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer 2004.

5. R. Seydel. Tools for Computational Finance (2nd ed.) , Springer 2004.

Learning outcomes: (in Polish)

Wiedza i umiejętności:

1. Potrafi wykorzystać metody Monte Carlo do obliczania cen instrumentów finansowych, umie generować próby dla wielu ważnych rozkładów (dyskretny, jednostajny, normalny, t-Studenta), zna metody tworzenia próby o zadanym rozkładzie z próby o rozkładzie jednostajnym, umie generować ciągi o małej dyskrepancji;

2. Umie rozwiązać numerycznie proste równania stochastyczne wykorzystując schematy Eulera lub Milsteina, zna rząd zbieżności tych schematów i rozumie jak znajomość rzędu zbieżności wpływa na zachowanie rozwiązań przybliżonych;

3. Zna podstawowe metody redukcji wariancji i umie je praktycznie wykorzystać, portafi wprowadzić zmienne antytetyczne do algorytmu Monte Carlo, umie obliczyć VaR metodą symulacji Monte Carlo, umie obliczyć ceny opcji waniliowych oraz wielu opcji egzotycznych (a także ich współczynniki wrażliwości) metodą Monte Carlo;

4. Rozumie matematyczne własności rozwiązań równań parabolicznych, wie jak wygląda poprawnie postawione zagadnienie początkowo-brzegowe dla tych równań, zna twierdzenia o istnieniu rozwiązań tych równań, umie napisać podstwowe schematy różnic skończonych służące rozwiązywaniu równań parabolicznych, zna warunki zbieżności tych schematów i umie te warunki wykorzystać w praktyce, potrafi obliczyć ceny wielu (także egzotycznych) instrumentów finansowych wykorzystując metodę różnic skończonych;

5. Zna związek wyceny opcji amerykańskich z zagadnieniem ze swobodną powierzchnią, umie rozwiązać proste przypadki takiego zagadnienia.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie metod numerycznych w praktyce rynków finansowych;

2. Rozumie znaczenie wiedzy z analizy numerycznej w rozwiązywaniu realnych problemów.

This course is not currently offered.
Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.