Analiza matematyczna I.1 (potok I)
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-111bAM1a |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.101
|
Nazwa przedmiotu: | Analiza matematyczna I.1 (potok I) |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki specjalności MSEM |
Punkty ECTS i inne: |
10.00
|
Język prowadzenia: | polski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | fizyka |
Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowe |
Skrócony opis: |
Przedmiot jest wprowadzeniem w podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego jednej zmiennej. Materiał obejmuje własności liczb rzeczywistych i wymiernych, zasadę indukcji, granice ciągów (w tym twierdzenie Bolzano- Weierstrassa), szeregi liczbowe (począwszy od podstawowych kryteriów aż do twierdzenia o zbieżności iloczynu Cauchy’ego szeregów), granice funkcji, ciągłość funkcji i jej konsekwencje (własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa), funkcje wypukłe oraz pojęcie pochodnej. |
Pełny opis: |
1. Liczby rzeczywiste, kresy zbiorów, aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda). Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne, zasada indukcji zupełnej i przykłady jej zastosowań. 2. Granica ciągu (w tym granice nieskończone), warunek Cauchy'ego, istnienie granic ciągów monotonicznych. Istnienie pierwiastków. Podstawowe granice (w tym liczba e). Twierdzenie Cesaro-Stolza. Podciągi, Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągu ograniczonym. 3. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych i zespolonych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach. Warunek Cauchy'ego dla szeregów. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta, kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dowolnych - zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne - kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Kryteria Abela i Dirichleta. Twierdzenia o zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Niewymierność liczby e. 4. Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji (warunki Heinego i Cauchy'ego), własność Darboux. Ciągłość funkcji odwrotnej. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Jednostajna ciągłość funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne. 5. Funkcje wypukłe, interpretacja geometryczna. Nierówność Jensena i wynikające z niej klasyczne nierówności (Cauchy'ego o średnich, Schwarza). Pochodna i jej interpretacje, styczna do wykresu funkcji. Charakteryzacja wypukłości funkcji w terminach ilorazów różnicowych i pierwszej pochodnej. |
Literatura: |
1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli. PWN, Warszawa 1977. 2. B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III). 3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-2, PWN, Warszawa 2007. 4. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej 1. Liczby rzeczywiste, ciągi i szeregi liczbowe, PWN, Warszawa 2005. 5. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979. 6. W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982. 7. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000. 8. P. Strzelecki, Analiza Matematyczna I (skrypt wykładu), http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i.pdf Dodatek do skryptu (aut. M. Jóźwikowski, S. Kolasiński), http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i-zadania.pdf |
Efekty uczenia się: |
Student: 1. Podaje przykłady liczb niewymiernych i zna dowody ich niewymierności. Potrafi wyznaczać kresy podzbiorów ciała liczb rzeczywistych. Posługuje się metodą indukcji zupełnej. 2. Zna pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych i zespolonych, zna jego arytmetyczne własności, a także twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i warunek Cauchy'ego. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności ciągów liczb rzeczywistych danych wzorem jawnym lub rekurencyjnym: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność całego ciągu lub jego podciągów. 3. Potrafi wskazać metodę definiowania funkcji wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych na zbiorze liczb rzeczywistych; zna podstawowe własności tych funkcji. 4. Zna pojęcie sumy szeregu zbieżnego oraz najważniejsze własności szeregów zbieżnych bezwzględnie i warunkowo. Bada zbieżność szeregów, posługując się kilkoma kryteriami zbieżności; potrafi odróżnić zbieżność bezwzględną od warunkowej. 5. Zna pojęcie granicy funkcji zmiennej rzeczywistej i jego równoważne definicje. Potrafi analizować istnienie granicy funkcji elementarnej zmiennej rzeczywistej i obliczyć tę granicę. 6. Zna podstawowe własności funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej, w tym własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów i twierdzenie o jednostajnej ciągłości na przedziałach domkniętych. Potrafi analizować ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji określonych na różnych przedziałach osi rzeczywistej. Wykorzystuje własności funkcji ciągłych w zadaniach o charakterze jakościowym, m.in. własność Darboux w dowodach istnienia rozwiązań konkretnych równań. 7. Zna pojęcie funkcji wypukłej, nierówność Jensena i najważniejsze przykłady jej zastosowań, w tym do dowodów nierówności. 8. Zna definicję pochodnej oraz geometryczne i fizyczne interpretacje tego pojęcia. |
Metody i kryteria oceniania: |
Zaliczenie na ocenę wystawianą na podstawie dwóch kolokwiów i punktacji z ćwiczeń. |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WT WYK
WYK
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
ŚR CW
CZ WYK
WYK
CW
CW
CW
CW
PT CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 60 godzin
Wykład, 60 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Marcin Bobieński, Marek Bodnar | |
Prowadzący grup: | Witold Bednorz, Marcin Bobieński, Marek Bodnar, Tomasz Cieśla, Agnieszka Kałamajska, Tomasz Kochanek, Michał Kotowski, Rafał Martynek, Marcin Moszyński, Mikołaj Rotkiewicz, Jacek Sadowski, Michał Strzelecki | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Wykład - Zaliczenie na ocenę |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (zakończony)
Okres: | 2024-10-01 - 2025-01-26 |
Przejdź do planu
PN CW
CW
CW
CW
WT WYK
WYK
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
ŚR CW
CW
CZ WYK
WYK
CW
CW
PT CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 60 godzin
Wykład, 60 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Marta Szumańska, Anna Zatorska-Goldstein | |
Prowadzący grup: | Witold Bednorz, Galina Filipuk, Jacek Jakimiuk, Michał Jóźwikowski, Tomasz Kochanek, Sławomir Kolasiński, Rafał Martynek, Piotr Mormul, Marcin Moszyński, Piotr Nayar, Marta Szumańska, Anna Zatorska-Goldstein | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Wykład - Zaliczenie na ocenę |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.