Geometria z algebrą liniową I (potok I)

obowiązkowe

Ciała, ciało liczb zespolonych, rozwiązywanie układów równań liniowych nad ciałem. Macierze, doprowadzanie do postaci schodkowej. Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie, liniowa niezależność, rozpinanie przestrzeni, bazy, współrzędne wektora w bazie, wymiar przestrzeni liniowej. Rząd macierzy, twierdzenie Kroneckera-Capellego. Przekształcenia liniowe, zadawanie przekształcenia przez wartości na bazie. Jądro i obraz przekształcenia, monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Przekształcenia ilorazowe. Macierz przekształcenia liniowego, algebra macierzy, macierze odwracalne. Funkcjonały liniowe, przestrzenie i przekształcenia sprzężone, bazy dualne. Wyznaczniki, obliczanie za pomocą operacji elementarnych i rozwinięcia Laplace'a, twierdzenie Cauchy'ego o

wyznaczniku iloczynu macierzy, wzory Cramera na rozwiązanie układu n równań.

1. Układy równań liniowych. Rozwiązanie ogólne. Macierze. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Postać schodkowa zredukowana. Metoda Gaussa. Zastosowanie do rozwiązywania układów równań.

2. Od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych (w skrócie). Ciała. Przykłady: R, Q, Q(sqrt(2)), Ciała p-elementowe Z_p (charakterystyka ciała).

3. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Geometryczne interpretacje działań na liczbach zespolonych. Wielomiany i ich pierwiastki. Pierwiastki z jedynki. Zasadnicze twierdzenie algebry (bez dowodu).

4. Przestrzenie liniowe (nad dowolnym ciałem). Podprzestrzenie. Iloczyn i suma podprzestrzeni. Kombinacje liniowe, podprzestrzenie rozpięte na układach wektorów. Liniowa niezależność. Bazy. Twierdzenie Steinitza o wymianie. Istnienie baz. Wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie. Wymiar sumy i iloczynu podprzestrzeni. Wewnętrzna suma prosta.

5. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opisywanie podprzestrzeni układami równań liniowych.

6. Przekształcenia liniowe. Przykłady: homotetie, rzuty i symetrie równoległe. Zadawanie przekształcenia przez wartości na bazie. Działania na przekształceniach liniowych (dodawanie, mnożenie przez skalar, składanie), przestrzeń przekształceń liniowych L(V,W).

7. Jądro i obraz przekształcenia. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Izomorfizm n-wymiarowej przestrzeni liniowej nad K z przestrzenią K^n. Związek wymiaru dziedziny przekształcenia z wymiarami jego jądra i obrazu. Przestrzenie ilorazowe. Twierdzenie o izomorfizmie.

8. Macierz przekształcenia liniowego. Izomorfizm przestrzeni przekształceń liniowych z przestrzenią macierzy. Macierz złożenia przekształceń. Algebra macierzy. Macierze odwracalne.

9. Funkcjonały (formy) liniowe, przestrzenie sprzężone (dualne). Bazy sprzężone, współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej. Przekształcenia sprzężone, ich macierze w bazach sprzężonych.

10. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Obliczanie za pomocą operacji elementarnych. Rozwinięcia Laplace'a. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu wyznaczników. Zastosowania wyznaczników, związki z rzędem i z odwracalnością macierzy. Wzory Cramera na rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi. Wzór permutacyjny na wyznacznik. Orientacja rzeczywistej przestrzeni wektorowej.

1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, WNT, Warszawa 2002.

2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią PWN, Warszawa 1976.

3. J. Chaber, R. Pol, GAL, skrypt MIM UW, Warszawa 2015, dostępny jako plik

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/geometria-z-algebra-liniowa.pdf

4. T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej I, Uniwersytet Warszawski, Warszawa 2008

5. A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, tom II: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2012.

6. A. I. Kostrikin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.

1. Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych metoda Gaussa. Rozumie pojęcie rozwiązania ogólnego.

2. Zna pojęcie i przykłady ciała. Umie się posługiwać liczbami zespolonymi. Zna zastosowania zasadniczego

twierdzenia algebry do znajdowania rozkładów wielomianów na czynniki.

3. Rozumie pojęcie przestrzeni liniowej. Umie sprawdzić liniową niezależność układu wektorów i znajdować bazy

podprzestrzeni w K^n i opisywać podprzestrzenie układami równań liniowych. Potrafi znaleźć współrzędne wektora w

bazie. Zna pojęcie sumy prostej.

4. Potrafi stosować pojęcie rzędu macierzy.

5. Rozumie pojęcie przekształcenia liniowego, zna przykłady. Potrafi znajdować jądro i obraz przekształcenia, badać

czy przekształcenie jest monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem. Zna związek wymiaru dziedziny

przekształcenia z wymiarami jego jądra i obrazu. Zna konstrukcje przestrzeni ilorazowej.

6. Umie znaleźć macierz przekształcenia liniowego w zadanych bazach. Potrafi mnożyć i odwracać macierze.

7. Rozumie pojęcie funkcjonału liniowego i przestrzeni sprzężonej. Potrafi obliczyć współrzędne funkcjonału w bazie

sprzężonej do danej.

8. Potrafi obliczać wyznaczniki. Zna zastosowania wyznaczników do znajdowania rozwiązywania układów

cramerowskich. Rozumie pojęcie orientacji rzeczywistej przestrzeni liniowej.

Przedmiot będzie zaliczany na podstawie wyników z ćwiczeń, kolokwium oraz egzaminu.

W trakcie semestru do zdobycia będzie 300 punktów, w tym 80 za kolokwium, 120 za egzamin pisemny, 80 za pracę na ćwiczeniach oraz 20 za rozwiązywanie testów na Moodle. Ocenę otrzymuje się na podstawie sumy uzyskanych punktów. Zdobycie co najmniej 50% punktów gwarantuje uzyskanie oceny dostatecznej. W przypadku uzyskania 40%-50% punktów o ocenie decydować będzie egzamin ustny.

Za pracę na ćwiczeniach do uzyskania jest od 0 do 80 punktów, z czego do 50 punktów za rozwiązywanie prac domowych, a do 30 punktów za pracę podczas zajęć.

O zaliczenie w terminie zerowym (w formie egzaminu ustnego) może ubiegać się osoba, która uzyskała co najmniej 75 punktów z pierwszego kolokwium i uzyska pozytywną rekomendację osoby prowadzącej ćwiczenia (potwierdzającą wysoką aktywność na zajęciach).