Wstęp do matematyki (potok I)

obowiązkowe

Podstawowe pojęcia i metody teorii mnogości (wraz z niezbędnymi elementami logiki), stanowiące język matematyki współczesnej.

1. Elementy rachunku zdań: spójniki logiczne, formuły, wartościowanie. Tautologie, zastosowanie do dowodów. Kwantyfikatory. Prawa de Morgana, negacja zdań.

2. Zbiór i relacja należenia. Sposoby definiowania zbiorów, zbiór pusty. Zawieranie zbiorów. Suma i iloczyn (przecięcie) dwóch zbiorów, własności. Suma i iloczyn (przecięcie) rodziny zbiorów. Różnica, dopełnienie zbioru. Prawa de Morgana. Pary uporządkowane, iloczyn kartezjański. Zbiór potęgowy.

3. Funkcja jako zbiór par uporządkowanych. Dziedzina, zbiór wartości, wykres. Funkcje różnowartościowe, funkcje na. Permutacje. Składanie funkcji, funkcja odwrotna. Obrazy i przeciwobrazy.

4. Indeksowane rodziny zbiorów, ich sumy, iloczyny. Podwójnie indeksowane rodziny zbiorów. Związek rachunku zdań i kwantyfikatorów z rachunkiem zbiorów. Iloczyn kartezjański (produkt) indeksowanej rodziny zbiorów.

5. Ciągi skończone i nieskończone. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję.

6. Równoliczność zbiorów. Zbiory skończone, przeliczalne, co najwyżej przeliczalne, nieprzeliczalne. Dowód istnienia zbiorów nieprzeliczalnych - przykłady rozumowań przekątniowych. Porównywanie mocy zbiorów, twierdzenie Cantora-Bernsteina. Przykłady zbiorów przeliczalnych, Własności (suma, iloczyn kartezjański zbiorów co najwyżej przeliczalnych). Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Zbiory mocy continuum, przykłady, własności (suma, iloczyn kartezjański zbiorów mocy continuum). Wzmianka o hipotezie continuum. Twierdzenie Cantora.

7. Relacja dwuargumentowa jako zbiór par uporządkowanych, przykłady relacji. Dziedzina, przeciwdziedzina, pole relacji, relacja odwrotna. Funkcje jako relacje. Własności relacji. Relacja porządku częściowego i liniowego, diagramy Hassego relacji porządku, elementy wyróżnione. Izomorfizm zbiorów uporządkowanych, niezmienniki izomorfizmu. Lemat Kuratowskiego-Zorna (bez dowodu), twierdzenie o istnieniu bazy w dowolnej przestrzeni liniowej.

8. Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział, przykłady. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami.

9. Liczby naturalne, aksjomaty Peano, informacja o definicjach działań i porządku. Wzmianka o możliwości konstrukcji zbioru liczb naturalnych. Liczby całkowite (np. konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb naturalnych) i wymierne (konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb całkowitych); wzmianka o definicjach działań i porządku. Liczby rzeczywiste: konstrukcja przez przekroje Dedekinda lub ciągi Cauchy’ego nad zbiorem liczb wymiernych; działania i

porządek.

1. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005.

2. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki, PWN, Warszawa 2005.

3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT, Warszawa 2015.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 2004.

5. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 2004.

1. Potrafi używać zapisu symbolicznego (spójniki logiczne, kwantyfikatory).

2. Umie operować konstrukcjami na zbiorach (suma, iloczyn, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, indeksowane rodziny zbiorów).

3. Rozpoznaje podstawowe własności funkcji, znajduje obraz/przeciwobraz zbioru dla danej funkcji.

4. Potrafi badać równoliczność zbiorów, rozpoznaje zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zna własności zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy continuum.

5. Rozpoznaje relacje równoważności, wyznacza klasy abstrakcji.

6. Rozpoznaje relacje częściowego, liniowego i dobrego porządku, wskazuje elementy wyróżnione.

7. Potrafi ustalić istnienie lub nieistnienie izomorfizmu zbiorów uporządkowanych.

8. Zna lemat Kuratowskiego-Zorna i niektóre jego zastosowania.

Wykład

Odbywa się w czwartki o 8:30 równolegle w dwóch grupach. Każdy student może wybrać wykład, na który przychodzi, niezależnie od grupy, do której jest zapisany.

Równoległe wykłady będą bardzo zbliżone pod względem treści, ale

mogą różnić się formą prezentacji i kolejnością omówienia niektórych

tematów.

Dodatkowo prowadzony będzie kurs na wydziałowym Moodle’u, gdzie będą się pojawiać niektóre materiały związane z wykładami. Będzie tam też funkcjonować forum z pytaniami i odpowiedziami. Studenci mają obowiązek dołączyć do tego kursu.

Na kursie na Moodle’u w poniedziałek po wybranych dziesięciu czwartkach, będzie się pojawiać test obejmujący dowolne części materiału omówionego dotychczas i na jednym, i na drugim z równoległych wykładów. Test będzie otwarty do dnia pojawienia się kolejnego testu, a w przypadku ostatniego testu do dnia egzaminu.

Ćwiczenia i prace domowe

Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Szczegółowe zasady w sprawie dopuszczalnej liczby nieobecności ustalają prowadzący ćwiczenia i w przypadku nadmiernej liczby nieobecności prowadzący ćwiczenia ma prawo zadecydować o utracie prawa do zaliczania przedmiotu przez studenta w pierwszym lub w obu terminach.

Każdy prowadzący ćwiczenia ma do przyznania punkty za ćwiczenia, wliczające się w sumę punktów, na której podstawie wystawiona będzie końcowa ocena (patrz niżej).

Prowadzący ćwiczenia będą zadawać prace domowe podzielone na serie, w których sumarycznie znajdzie się 30 zadań (np. 10 serii po 3 zadania). Oddanie rozwiązania następuje poprzez wgranie odpowiednich plików przez serwis Moodle’a przed terminem kolejnych ćwiczeń.

Nad zadaniami można myśleć w maksymalnie czteroosobowych zespołach, ale każdy student w pełni samodzielnie redaguje przesyłane rozwiązanie. Student ma prawo oddać swoje samodzielnie spisane rozwiązanie tylko wtedy, jeśli całkowicie je rozumie. Studenci, którzy zdecydowali się myśleć w zespołach, podają skład zespołu w swojej pracy domowej. Nie zwalnia to z obowiązku jednoosobowego i samodzielnego spisania rozwiązania przez każdego ze studentów.

Zachęcamy do oddawania prac domowych zredagowanych w LateXu, co będzie wymagało przesłania pliku .tex oraz pliku .pdf. Studenci, którzy w ten sposób oddadzą większość prac domowych, na koniec semestru otrzymają dodatkowy 1 punkt. W kursie na Moodle’u pojawią się materiały do samodzielnej nauki używania LateXa.

Oddane prace będą podlegać automatycznej kontroli antyplagiatowej. W przypadku stwierdzenia rażącej niesamodzielności pracy, punkty zostaną wyzerowane, a wcześniejsze i późniejsze prace domowe danego studenta ręcznie zweryfikowane pod tym kątem.

Prace będą sprawdzać graderzy (wyznaczeni studenci wyższych lat), korzystając z serwisu Moodle, którzy każdą pracę ocenią i każde rozwiązanie opatrzą komentarzem. Graderzy też będą elementem dodatkowej kontroli antyplagiatowej. Prowadzący grupę ćwiczeniową w razie wątpliwości zgłoszonych przez gradera może zweryfikować, czy student rozumie swoje rozwiązanie poprzez indywidualną rozmowę ze studentem i od tego uzależnić przyznaną liczbę punktów.

Konsultacje

Każdy prowadzący ćwiczenia prowadzi konsultacje dla studentów swojej grupy w ustalonym terminie raz na tydzień lub po umówieniu się ze studentami mailowo. Konsultacje mogą odbywać się on-line.

Kolokwium

Odbędzie się w czwartek 8.12,o godz. 14:15 lub 14:30 i będzie się składać z 3 lub 4 zadań. Kolokwium będzie trwało nie dłużej niż 120 min.

Egzamin zerowy

Studenci, którzy przed ostatnim tygodniem zajęć zdobędą co najmniej 90% punktów sumarycznie z kolokwium, testów zamkniętych przed przedostatnim wykładem oraz prac domowych sprawdzonych przed przedostatnim wykładem, zostaną zaproszeni na egzamin ustny i w przypadku pozytywnego jego wyniku będą zwolnieni z egzaminu w sesji.

Egzamin w pierwszym terminie

Wszyscy studenci (z ewentualnym wyjątkiem osób, których dotyczą szczególne sytuacje opisane w Regulaminie Studiów i zasady ustalone przez prowadzącego ćwiczenia związane z dopuszczalną liczbą nieobecności) są dopuszczeni do egzaminu.

Egzamin będzie się składał z:

- części testowej,

- części zadaniowej.

W szczególnych (rzadkich) przypadkach wykładowca może dodatkowo zaproponować egzamin ustny, którego wynik może zmienić ocenę wystawioną na podstawie sumy zdobytych punktów (patrz niżej). Na dopuszczenie do egzaminu ustnego może mieć wpływ opinia prowadzącego ćwiczenia.

Egzamin w drugim terminie

W terminie poprawkowym ocenę wyznacza się na podstawie egzaminu (część testowa i zadaniowa) oraz ewentualnie egzaminu ustnego.

Ewentualny tryb zdalny

W przypadku przejścia nauczania na tryb zdalny zasady zaliczania zostaną zmodyfikowane. Zmiana może w szczególności dotyczyć formy egzaminu.

Podsumowanie punktacji

Kolokwium - 24 pkt

Egzamin część zadaniowa - 24 pkt

Egzamin część testowa- 24 pkt

Zadania domowe - 12 pkt

Testy Moodle - 10 pkt

Ćwiczenia - 5 pkt

Latex - 1 pkt.

Wykład

Odbywa się w czwartki o 8:30 równolegle w dwóch grupach. Każdy student może wybrać wykład, na który przychodzi, niezależnie od grupy, do której jest zapisany.

Równoległe wykłady będą bardzo zbliżone pod względem treści, ale

mogą różnić się formą prezentacji i kolejnością omówienia niektórych

tematów.

Dodatkowo prowadzony będzie kurs na wydziałowym Moodle’u, gdzie będą się pojawiać niektóre materiały związane z wykładami. Będzie tam też funkcjonować forum z pytaniami i odpowiedziami. Studenci mają obowiązek dołączyć do tego kursu.

Na kursie na Moodle’u w poniedziałek po wybranych dziesięciu czwartkach, będzie się pojawiać test obejmujący dowolne części materiału omówionego dotychczas i na jednym, i na drugim z równoległych wykładów. Test będzie otwarty do dnia pojawienia się kolejnego testu, a w przypadku ostatniego testu do dnia egzaminu.

Ćwiczenia i prace domowe

Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Szczegółowe zasady w sprawie dopuszczalnej liczby nieobecności ustalają prowadzący ćwiczenia i w przypadku nadmiernej liczby nieobecności prowadzący ćwiczenia ma prawo zadecydować o utracie prawa do zaliczania przedmiotu przez studenta w pierwszym lub w obu terminach.

Każdy prowadzący ćwiczenia ma do przyznania punkty za ćwiczenia, wliczające się w sumę punktów, na której podstawie wystawiona będzie końcowa ocena (patrz niżej).

Prowadzący ćwiczenia będą zadawać prace domowe podzielone na serie, w których sumarycznie znajdzie się 30 zadań (np. 10 serii po 3 zadania). Oddanie rozwiązania następuje poprzez wgranie odpowiednich plików przez serwis Moodle’a przed terminem kolejnych ćwiczeń.

Nad zadaniami można myśleć w maksymalnie czteroosobowych zespołach, ale każdy student w pełni samodzielnie redaguje przesyłane rozwiązanie. Student ma prawo oddać swoje samodzielnie spisane rozwiązanie tylko wtedy, jeśli całkowicie je rozumie. Studenci, którzy zdecydowali się myśleć w zespołach, podają skład zespołu w swojej pracy domowej. Nie zwalnia to z obowiązku jednoosobowego i samodzielnego spisania rozwiązania przez każdego ze studentów.

Zachęcamy do oddawania prac domowych zredagowanych w LateXu, co będzie wymagało przesłania pliku .tex oraz pliku .pdf. Studenci, którzy w ten sposób oddadzą większość prac domowych, na koniec semestru otrzymają dodatkowy 1 punkt. W kursie na Moodle’u pojawią się materiały do samodzielnej nauki używania LateXa.

Oddane prace będą podlegać automatycznej kontroli antyplagiatowej. W przypadku stwierdzenia rażącej niesamodzielności pracy, punkty zostaną wyzerowane, a wcześniejsze i późniejsze prace domowe danego studenta ręcznie zweryfikowane pod tym kątem.

Prace będą sprawdzać graderzy (wyznaczeni studenci wyższych lat), korzystając z serwisu Moodle, którzy każdą pracę ocenią i każde rozwiązanie opatrzą komentarzem. Graderzy też będą elementem dodatkowej kontroli antyplagiatowej. Prowadzący grupę ćwiczeniową w razie wątpliwości zgłoszonych przez gradera może zweryfikować, czy student rozumie swoje rozwiązanie poprzez indywidualną rozmowę ze studentem i od tego uzależnić przyznaną liczbę punktów.

Konsultacje

Każdy prowadzący ćwiczenia prowadzi konsultacje dla studentów swojej grupy w ustalonym terminie raz na tydzień lub po umówieniu się ze studentami mailowo. Konsultacje mogą odbywać się on-line.

Kolokwium

Odbędzie się w czwartek 8.12,o godz. 14:15 lub 14:30 i będzie się składać z 3 lub 4 zadań. Kolokwium będzie trwało nie dłużej niż 120 min.

Egzamin zerowy

Studenci, którzy przed ostatnim tygodniem zajęć zdobędą co najmniej 90% punktów sumarycznie z kolokwium, testów zamkniętych przed przedostatnim wykładem oraz prac domowych sprawdzonych przed przedostatnim wykładem, zostaną zaproszeni na egzamin ustny i w przypadku pozytywnego jego wyniku będą zwolnieni z egzaminu w sesji.

Egzamin w pierwszym terminie

Wszyscy studenci (z ewentualnym wyjątkiem osób, których dotyczą szczególne sytuacje opisane w Regulaminie Studiów i zasady ustalone przez prowadzącego ćwiczenia związane z dopuszczalną liczbą nieobecności) są dopuszczeni do egzaminu.

Egzamin będzie się składał z:

- części testowej,

- części zadaniowej.

W szczególnych (rzadkich) przypadkach wykładowca może dodatkowo zaproponować egzamin ustny, którego wynik może zmienić ocenę wystawioną na podstawie sumy zdobytych punktów (patrz niżej). Na dopuszczenie do egzaminu ustnego może mieć wpływ opinia prowadzącego ćwiczenia.

Egzamin w drugim terminie

W terminie poprawkowym ocenę wyznacza się na podstawie egzaminu (część testowa i zadaniowa) oraz ewentualnie egzaminu ustnego.

Ewentualny tryb zdalny

W przypadku przejścia nauczania na tryb zdalny zasady zaliczania zostaną zmodyfikowane. Zmiana może w szczególności dotyczyć formy egzaminu.

Podsumowanie punktacji

Kolokwium - 24 pkt

Egzamin część zadaniowa - 24 pkt

Egzamin część testowa- 24 pkt

Zadania domowe - 12 pkt

Testy Moodle - 10 pkt

Ćwiczenia - 5 pkt

Latex - 1 pkt.