Algebry i grupy Liego

fizyka
matematyka

fakultatywne

Klasyczne grupy liniowe, abstrakcyjne grupy Lie, grupy zwarte.

Odpowiedniość grup i algebr Liego, czyli klasyczna teoria Liego. Odwzorowanie Exp.

Abstrakcyjne podejście do algebr Liego. Klasyfikacja prostych algebr Liego

Reprezentacje klasycznych grup i algebr Lie przez najwyzsze wagi. Przestrzenie jednorodne.

1. Przykłady klasycznych grup, ciało kwaternionów i grupa symplektyczna

2. Abstrakcyjne grupy Liego. Niezmiennicze pola wektorowe, odwzorowanie exp, reprezentacja dołaczona.

3. Torusy i ich reprezentacje. Torusy maksymalne w zwartej grupie.

4. Algebra Liego stowarzyszona z grupa Liego. Przykłady macierzowe.

5. Odpowiedniosc: grupy Liego - algebry Liego, czyli klasyczna teoria Liego.

6. Abstrakcyjne podejscie do algebr Liego. Ideały, algebry ilorazowe i odpowiadajace im konstrukcje na grupach. Własności grup versus własności algebr.

7. Algebry rozwiazalne, nilpotentne, półproste. Forma Killinga. Kryteria rozwiazalnosci i półprostoty Cartana.

8. Własnosci algebr stowarzyszonych ze zwartymi grupami. Niezmienniczy iloczyn skalarny. Zespolone reduktywne grupy liniowe (zdefiniowane jako kompleksyfikacja grup zwartych).

9. Klasyfikacja prostych algebr Lie poprzez systemy pierwiastków.

10. Reprezentacje zwartych grup, charaktery reprezentacji.

11. Reprezentacje klasycznych grup/algebr Lie, najwyzsze wagi.

12. Reprezentacje grupy GL(n;C). Diagramy Younga. (Informacyjnie: formuła Pieri, formuła Weyla na charakter.)

13. Przestrzenie jednorodne klasycznych grup. Działanie torusa na G/P, punkty stałe, rozkłady na komórki (na przykładzie grassmanianu, przestrzeni flag).

1. Adams, J.F. Lectures on Lie groups. 1969

2. Brocker, Theodor; tom Dieck, Tammo. Representations of compact Lie groups. GTM 98, 1985

3. Erdmann K., Wildon M. J. Introduction to Lie Algebras. 2006

4. Fulton, William, Harris, Joe. Representation theory. A rst course. 1991

5. Jacobson, Nathan. Lie algebras. 1962 (1979).

6. Knapp, Anthony W. Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples

1986 (2001).

7. Kirillov, Alexander, Jr. An introduction to Lie groups and Lie algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 113. (2008)

Student zna podstawowe pojecia teorii grup Liego, algebr Liego i zwiazanej z nimi teorii reprezentacji. W szczególnosci opanował pojęcia wymienione w opisie przedmiotu. Wykład stanowi punkt wyjścia do dalszego kształcenia się w tej dziedzinie i samodzielnych badań.

Przedmiot kończy się egzaminem pisemnym i ustnym. 20% końcowej oceny pochodzi z prac domowych i aktywności na ćwiczeniach w trakcie całego semestru.