Procesy stochastyczne w biologii i naukach społecznych

fakultatywne

Wyłozenie podstaw teoretycznych analizy stochastycznej (łancuchy Markowa, proces Poissona, procesy urodzin i smierci, procesy gałazkowe, równanie M, równania Fokkera-Plancka, Kołmogorowa, Langevina/Ito) bedzie zintegrowane z konkretnymi modelami biologicznymi (ekspresja i regulacja genów, kanały jonowe) oraz modelami teorii gier ewolucyjnych.

Wyłożenie podstaw teoretycznych analizy stochastycznej (łancuchy Markowa, proces Poissona, procesy urodzin i śmierci, procesy gałazkowe, równanie M, równania Fokkera-Plancka, Kołmogorowa, Langevina/ Ito) będzie zintegrowane z konkretnymi modelami biologicznymi (ekspresja i regulacja genów, kanały

jonowe) oraz modelami teorii gier ewolucyjnych. Zajęcia rozpoczniemy od elementarnego wprowadzenia do teorii łancuchów Markowa (rozkład stacjonarny, równowaga szczegółowa, klasyfikacja stanów, twierdzenie ergodyczne) bogato ilustrowanego przykładami z róznych dziedzin. Nie zakładamy znajomości biologii i teorii gier. Elementy rzeczywistości poza-matematycznej zostana wyłozone i odpowiednie modele matematyczne zostana skonstruowane. Zajecia oprócz uczenia technik matematycznych będą miały na celu naukę modelowania - konstruowania modeli matematycznych, których analiza doprowadza do odpowiedzi na pytania z innych dziedzin.

Program wykładu i ćwiczeń:

1. Wprowadzenie do łancuchówMarkowa z czasem dyskretnym: stan stacjonarny, zbieznosci rozkładówi prawdopodobienstw przejscia, klasyfikacja stanów.

2. Odwracalnosc w czasie łancuchów Markowa, równowaga szczegółowa. Model kanału jonowego – dynamika Kawasaki.

3. Łancuchy Markowa z czasem ciagłym – skokowe procesy Markowa: proces Poissona, procesy urodzin i smierci. Stochastyczne modele ekspresji i regulacji genów.

4. Równanie M (równanie fundamentalne), równania Fokkera-Plancka, Kołmogorowa, Langevina/Ito.

5. Procesy gałazkowe.

6. Stochastyczna stabilnosc losowo zaburzonych dynamicznych układów deterministycznych . Stochastyczne modele gier ewolucyjnych z losowym doborem graczy i ze struktura przestrzenna.

7. Paradoksalne gry hazardowe Parrondo.

1. J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstep do teorii prawdopodobienstwa, SCRIPT, 2001.

2. W. Feller, Wstep do rachunku prawdopodobienstwa (t. I i II), PWN, 1975 i pózniejsze wydania.

3. A. Borowkow, Rachunek prawdopodobienstwa, PWN, 1975.

4. G. R. Grimmett i D. R. Stirzaker, Probability and Random Processes, Oxford University Press, 1982 i pózniejsze wydania.

5. Ch. Mazza i M. Benaim, Stochastic Dynamics for Systems Biology, Chapman and Hall/CRC Mathematical and Computational Biology, 2014.

Wiedza i umiejetnosci:

1. Zna podstawowe definicje, twierdzenia i własnosci łancuchów Markowa, procesów gałazkowych,procesu Poissona oraz procesów urodzin i smierci.

2. Umie obliczac momenty rozkładów uzywajac funkcji tworzacych.

3. Zna podstawowe modele matematyczne ekspresji genów oraz teorii gier ewolucyjnych.

4. Umie konstruowac modele matematyczne w oparciu o teksty biologiczne i nauk społecznych.

Kompetencje społeczne:

1. Umie rozmawiac z biologami i przedstawicielami nauk społecznych o matematyce i z matematykami o biologii i naukach społecznych.

Klasówka (testy): 30%

Projekt: 30%

Egzamin pisemny: 40%