Statystyka bayesowska

fakultatywne

Systematyczne wprowadzenie do statystyki bayesowskiej, która zdobywa coraz wieksza popularnosc, ma róznorodne zastosowania, a na kursowych wykładach ze statystyki jest traktowana pobieznie. Przedmiot przeznaczony dla matematyków, dostepny równiez dla informatyków zainteresowanych statystyka.

1. Klasyczny i bayesowski punkt widzenia w statystyce. Przykłady. Podstawy probabilistyczne: warunkowe rozkłady prawdopodobienstwa, warunkowe wartosci oczekiwane, twierdzenie Bayesa. Budowa statystycznych modeli bayesowskich. Rozkłady a priori i a posteriori. Rozkłady predykcyjne. Warunkowa niezaleznosc i dostatecznosc.

2. Sprzężone rodziny rozkładów. Standardowe przykłady.

3. Funkcje straty, estymacja i predykcja bayesowska. Podstawy statystycznej teorii decyzji. Zastosowania: klasyfikacja i rozpoznawanie obrazów. Zastosowania: mieszane modele liniowe w ubezpieczeniowej teorii zaufania (credibility) i w statystyce małych obszarów. Empiryczne podejście

bayesowskie i modele hierarchiczne.

4. Metody obliczeniowe, MCMC. Próbnik Gibbsa w hierarchicznych modelach baysesowskich.

5. Testowanie hipotez w ujeciu bayesowskim, wybór modelu. Czynniki Bayesa i metody obliczeniowe.

6. Elementy asymptotycznej teorii bayesowskiej. Zgodnosc i asymptotyczna normalnosc rozkładów a

posteriori. Wymienialnosc (exchangeability) i twierdzenie de Finettiego.

1. M.H. DeGooot, Optymalne decyzje statystyczne. PWN 1981.

2. S.D. Silvey, Wnioskowanie Statystyczne. PWN 1978.

3. C.P. Robert, The Bayesian choice: a decision-theoretic motivation. Springer 1994.

4. J.H. Albert, Bayesian computation with R. Springer 2008.

Wiedza i umiejetności:

1. Rozumie model bayesowski i róznice pomiedzy czestosciowym i bayesowskim punktem widzenia. Umie wyprowadzic wzory na rozkład a-posteriori dla modelu dwumianowego, Poissona, normalnego przy sprzężonym rozkładzie a-priori. Zna pojecie rozkładu predykcyjnego i potrafi wyprowadzić odpowiednie wzory w prostych modelach

2. Zna definicje i podstawowe własnosci wykładniczej rozdziny rozkładów prawdopodobienstwa i umie wyprowadzić wzory na sprzężone rozkłady a-priori.

3. Zna pojecia teorii decyzji statystycznych takie jak funkcja straty, funkcja ryzyka i ryzyko bayesowskie.Umie obliczać estymatory bayesowskie dla róznych funkcji straty.

4. Zna podstawowe algorytmy MCMC (markowowskie Monte Carlo) stosowane w statystyce bayesowskiej.Umie samodzielnie zaprojektować i zaprogramować próbnik Gibbsa w prostych modelach hierarchicznych.

5. Rozumie bayesowskie podejscie do zagadnienia testowania hipotez statystycznych. Zna definicje czynnika Bayesa i wie jak nalezy go obliczać.

6. Zna twierdzenia graniczne dla rozkładów a posteriori: zgodnosc, asymptotyczna normalnosc. Rozumie pojęcie wymienialności (exchangeability) i rozumie jego role w statystyce bayesowskiej.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie metodologiczna róznice pomiedzy statystyka bayesowką i czestościową.

2. Potrafi formułowac w jezyku bayesowskim wnioski obliczeń statystycznych i komunikowac te wyniki użytkownikom.

Zaliczenie ćwiczeń na podstawie rozwiązań zadań domowych, prezentowanych na ćwiczeniach.

Ocena końcowa na podstawie egzaminu pisemnego, złożonego z ok. 6 zadań. W wyjątkowych przypadkach możliwość zdawania dodatkowo egzaminu ustnego.