Wstęp do układów dynamicznych

fakultatywne

Wykład stanowi wprowadzenie w niektóre zagadnienia teorii układów dynamicznych na podstawie analizy przykładowych modeli. Opisana jest m.in. dynamika przekształceń na odcinku, okręgu, torusie i płaszczyźnie zespolonej.

1. Dynamika przekształceń odcinka na przykładzie rodziny kwadratowej – sprzężenie, hiperboliczność, dynamika symboliczna, twierdzenie Szarkowskiego.

2. Homeomorfizmy okręgu – liczba obrotu, twierdzenie Denjoy’a, strukturalna stabilność, własność Morse’a–Smale’a.

3. Dynamika przekształceń torusa – przesunięcia, algebraiczne automorfizmy, rozbicie Markowa.

4. Układy chaotyczne – podkowa Smale’a, przykłady atraktorów, solenoidy, rozmaitości stabilne i niestabilne, hiperboliczność.

5. Miary niezmiennicze, twierdzenie Poincarego o powracaniu, ergodyczność, entropia.

6. Przykłady bilardów – bilard w wielokącie i elipsie.

7. Dynamika holomorficzna – zbiory Julii, zespolona rodzina kwadratowa, zbiór Mandelbrota, zespolona metoda Newtona.

8. Wymiar Hausdorffa i fraktale.

1. A. Boyarsky and P. Góra, Laws of chaos. Invariant measures and dynamical systems in one dimension, Birkhauser, 1997.

2. R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.

3. B. Hasselblatt, A. Katok, A first course in dynamics. With a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.

4. M. Pollicott and M. Yuri, Dynamical systems and ergodic theory, Cambridge University Press, 1998l.

5. C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, CRC Press, 1998.

6. W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982.

1. Znajomość podstawowych pojęć teorii układów dynamicznych (układ dynamiczny, trajektoria, zbiór graniczny, sprzężenie).

2. Iteracje przekształceń odcinka: znajomość twierdzenia Szarkowskiego, znajomość podstawowych informacji o rodzinie kwadratowej (logistycznej).

3. Dynamika homeomorfizmów okręgu: znajomość pojęcia liczby obrotu i jej własności, znajomość twierdzenia Denjoy’a.

4. Dynamika przekształceń torusa: znajomość podstawowych informacji o algebraicznych automorfizmach torusa.

5. Chaotyczne układy dynamiczne: znajomość twierdzenia Hadamarda-Perrona i definicji rozmaitości stabilnych i niestabilnych, układu hiperbolicznego i atraktora, znajomość pojęcia kodowania dla podkowy Smale’a, umiejętność jakościowego przeanalizowania prostych przykładów gładkich układów dynamicznych.

6. Teoria ergodyczna układów dynamicznych: znajomość definicji miary niezmienniczej i pojęcia ergodyczności, znajomość podstawowych przykładów układów zachowujących miarę, znajomość twierdzenia Poincarego o powracaniu.

7. Dynamika holomorficzna: znajomość pojęcia zbioru Julii i zbioru Mandelbrota, znajomość podstawowych przykładów dynamiki przekształceń holomorficznych.

Rozwiązywanie zadań domowych i przedstawianie ich na ćwiczeniach. Egzamin pisemny – kilka zadań dotyczących podstawowych własności i przykładów układów dynamicznych. W razie potrzeby egzamin ustny.