Dynamical systems

Układy dynamiczne, i związana z nimi ściśle teoria ergodyczna to bardzo ważne dziedziny współczesnej matematyki. Powstały, bo ludzie interesowałi się zachowaniem się rozwiązań układów równań różniczkowych, w tym takich, których rozwiązaniami są funkcje nieelementarne (np. zagadnienie 3 ciał), lub przynajmniej tak skomplikowane, że nie bardzo można zrozumieć, jak się zachowują. Matematycy iterowali też funkcje np. wtedy, gdy chcieli znaleźć przybliżenia pierwiastków wielomianu - metoda Newtona. Najogólniej mówiąc, chodzi tu o badanie ewolucji różnych układów w czasie, ze szczególnym uwzględnieniem własności stochastycznych oraz geometrii zbiorów granicznych i niezmienniczych. Wykorzystywane są metody z wielu gałęzi matematyki (m.in rachunku prawdopodobieństwa, analizy funkcjonalnej, analizy zespolonej, topologii algebraicznej). Znajdują liczne zastosowania w naukach przyrodniczych.

O wadze tematyki świadczy i to że w ostatnich latach kilka medali Fieldsa przyznano właśnie matematykom pracującym w dziedzinie układów dynamicznych i teorii ergodycznej (bądź używających metod układów dynamicznych)- np. J-Ch.Yoccoz (1994), C. McMullen (1998), S. Smirnov, E. Lindenstrauss (2010). Wielu tych. którzy otrzymali medal Fieldsa wcześniej, też układami dynamicznymi się interesowało: R. Thom, S.Smale, J. Milnor, S.P. Nowikow, G.Margulis, W. Thurston.

W Polsce tą problematyką zajmuje się od wielu lat z sukcesem kilka grup badawczych, m.in. na naszym Wydziale, oraz w IMPAN, na Politechnice Warszawskiej, a także na Uniwersytetach we Wrocławiu, Toruniu, Krakowie, Olsztynie.

W ramach proseminarium zamierzamy przedstawić podstawowe idee i pojęcia układów dynamicznych i teorii ergodycznej (m.in. zbiór graniczny, stabilność, atraktor, repeller, entropia, ergodyczność) ilustrując je licznymi, elementarnymi przykładami (homeomorfizmy okręgu, automorfizmy torusa, dynamika ułamków łańcuchowych, fraktale, zbiory Julii). Będziemy używać wyłącznie metod dostępnych dla studentów po drugim roku studiów.

Dla osób, które chciałyby dowiedzieć się więcej o przedmiocie, kilka tytułów w kolejności "od łatwiejszych do trudniejszych". Oczywiście na proseminarium omawiane będą jedynie fragmenty książek, będą też referowane prace oryginalne.

B. Hasselblatt, A. Katok

A first course in dynamics

Cambridge University Press, Cambridge 2003

R.Devaney,

An introduction to chaotic dynamical systems,

The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Menlo Park 1986.

C.Robinson,

Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos,

Second edition, CRC Press, Boca Raton 1999.

W.Szlenk,

Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych,

Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.

Lietratura dodatkowa, bardziej zaawansowana:

M.Pollicott, M. Yuri,

Dynamical Systems and Ergodic Theory,

London Mathematical Society Student Texts 40,

Cambridge University Press, Cambridge 1998.

P.Walters,

An introduction to ergodic theory,

Springer-Verlag, New York-Berlin 1982.

S.Fomin, I.Kornfeld i J.Sinaj,

Teoria ergodyczna,

Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987.

F.Przytycki, J.Skrzypczak,

Wstęp do teorii iteracji funkcji wymiernych na sferze Riemanna,

dostępne na stronie https://www.impan.pl/~feliksp/.

F.Przytycki, M. Urbański,

Conformal Fractals: Ergodic Theory Methods

London Mathematical Society Lecture Notes Series 371,

Cambridge University Press, Cambridge 2010.

T. Downarowicz,

Entropy in Dynamical Systems,

New Mathematical Monographs 18

Cambridge University Press, Cambridge 2011.