Elementy teorii kategorii

monograficzne

Na wykładzie zostaną omówione podstawowe pojęcia i twierdzenia Teorii Kategorii. Ostatnia część wykładu będzie poświęcona bardziej specyficznym zastosowaniom. Planuję omówić różne aspekty

toposów Grothendiecka.

Od swojego powstania w 1945 roku teoria kategorii znalazła zastosowanie w wielu, niekiedy bardzo odległych działach matematyki, od topologii i geometrii algebraicznej aż po logikę i semantykę języków programowania.

Podczas wykładu omówię pojęcia i twierdzenia stanowiące podstawę teorii kategorii: kategorie, funktory, transformacje naturalne, równoważność kategorii, funktory reprezentowalne, lemat Yonedy, granice, kogranice, zachowywanie granic i pokrewne pojęcia, własności granic w ogóle i w konkretnych kategoriach, sprzężenia funktorów, twierdzenia Freyda o istnieniu funktorów sprzężonych, własności funktorów sprzężonych, kategorie kartezjańsko domknięte, kategorie presnopów, monady, algebry Eilenberga-Moore'a, algebry Kleisliego, twierdzenie Becka. Wykład będzie w miarę możliwości ilustrowany przykładami z algebry, topologii i logiki, toteż pewne ogólne obycie z materiałem z zakresu pierwszych dwóch lat studiów matematycznych będzie przydatne, choć nie niezbędne, dla zrozumienia treści wykładów.

Końcowe wykłady chciałbym przeznaczyć na omówienie toposów Grothendiecka z różnych punktów widzenia: jako uogólnionych przestrzeni topologicznych, uniwersów 'zbiorów' oraz teorii geometrycznych.

Szczegółowy przebieg wykładu (zwłaszcza w ostatniej jego części) będzie nieco zależeć od zainteresowań uczestników i zostanie ustalony na początku zajęć.

Ogólne wprowadzenie:

S. MacLane, Categories for the Working Mathematician,

M. Barr, Ch. Wells, Category Theory for Computing Science

Teoria toposów:

I. Moerdijk, S. MacLane, Sheaves in Geometry and Logic

M. Barr, Ch. Wells, Toposes, Triples and Theories

Encyklopedie

P. T. Johnstone, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium

F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra

Na ocenę z przedmiotu będą mały wpływ trzy składniki:

1. Aktywność na zajęciach

2. Rozwiązania pisemne serii zadań

3. Egzamin ustny