Analiza Fouriera

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-1M10AF
Kod Erasmus / ISCED:	11.154 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Analiza Fouriera
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:	Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	monograficzne
Skrócony opis:	Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu.
Pełny opis:	Współczesna analiza matematyczna wymaga głębokiego spojrzenia na własności funkcji, w szczególności pojęcia takie jak różniczkowanie, całkowanie czy nawet mnożenie daleko odbiegają od swoich klasycznych odpowiedników. Rozwój w tym kierunku został wymuszony przez matematykę stosowaną, reprezentowaną głównie przez równania cząstkowe i metody numeryczne. Wykład swój chciałbym skoncentrować na narzędziach analizy fourierowskiej, przedstawiając spójną teorię wymaganą przez aktualną matematykę. Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu. Na ćwiczeniach analizowane będą konkretne przykłady jak również rozwiązywać będziemy szczególne zagadnienia z równań cząstkowych związanych z tzw. maksymalną i optymalną regularnością. Plan wykładu: 1. Podstawowe własności funkcji; 2. Przestrzenie Besova i Triebla, elementy teorii interpolacji 3. Funkcja maksymalna i operatory Zygmunda; 4. Wagi A_p; 5. L_p=F^0_{p,2}; 6. Twierdzenia Marcinkiewicza o mnożnikach; 7. Spojrzenia na przypadki graniczne - przestrzenie BMO i Hardy'ego. 8. Paraprodukty i twierdzenia o włożeniu; 9. Zastosowania w równaniach cząstkowych. Na wykład zapraszam osoby zainteresowane szeroko rozumianą analizą matematyczną. Wykład nie zakłada wiedzy z RRCzI, wymaga znajomości całki Lebesguea oraz elementów analizy funkcjonalnej.
Literatura:	1. J. Duoandikoetxea, Fourier analysis. AMS, Providence, RI, 2001. 2. M.E. Taylor, Tools for PDE. Pseudodifferential operators, paradifferential operators, and layer potentials. AMS, Providence, RI, 2000.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.