Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wybrane zagadnienia teorii mnogości małych podzbiorów przestrzeni polskich

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21TMPP Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Wybrane zagadnienia teorii mnogości małych podzbiorów przestrzeni polskich
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (opisowo):

Do uczestnictwa w wykładzie niezbędna jest znajomość teorii mnogości w zakresie nieco przekraczającym materiał ,,Wstępu do matematyki” (indukcja pozaskończona, liczby porządkowe i kardynalne) oraz elementarnych pojęć topologii ogólnej w zakresie wykładu ,,Topologia I”.

Skrócony opis:

Wykład będzie dotyczył zagadnień, leżących na styku deskryptywnej teorii mnogości oraz topologii ogólnej i teorii miary. Są one związane z ideałami na zbiorach przeliczalnych oraz z σ-ideałami na przestrzeniach polskich, tj. ośrodkowych przestrzeniach topologicznych, metryzowalnych w sposób zupełny.

Pojęcie ideału na nieskończonym zbiorze X odpowiada intuicji rodziny podzbiorów tego zbioru, które z pewnego punktu widzenia są małe. Jest to więc rodzina podzbiorów X, różna od P(X), zamknięta na podzbiory oraz skończone sumy swoich elementów; jest ona σ-ideałem, gdy jest zamknięta na sumy przeliczalne. Ideały są obecne w wielu dziedzinach matematyki, a rozmaite zagadnienia, związane z nimi, stanowią przedmiot ciekawych i aktualnych badań, prowadzonych przez wielu znanych matematyków.

Pełny opis:

1. Elementy deskryptywnej teorii mnogości: przestrzenie polskie, zbiory borelowskie i analityczne, hiperprzestrzeń zbiorów zwartych, własność Baire’a, σ-ideał zbiorów pierwszej kategorii Baire’a i jego charakteryzacje.

2. Ideały na zbiorach przeliczalnych: charakteryzacja Talagranda ideałów z własnością Baire’a, charakteryzacja Mazura ideałów typu F_σ i Soleckiego P-ideałów analitycznych z pomocą podmiar.

3. σ-ideały na przestrzeniach polskich generowane przez zbiory domknięte: konstrukcja zbiorów typu G_δ spoza σ-ideału (systemy Hurewicza i twierdzenie Soleckiego), σ-ideały z własnością ,,1-1 lub stała” Saboka i Zapletala (każda funkcja borelowska ze zbioru borelowskiego spoza ideału w przestrzeń polską jest stała na zbiorze borelowskim spoza ideału lub różnowartościowa na zbiorze borelowskim spoza ideału).

4. σ-ideały zbiorów małych w sensie miary lub kategorii: zbiory uniwersalnie miary zero, zbiory silnie miary zero, zbiory zawsze pierwszej kategorii, zbiory uniwersalnie pierwszej kategorii, zbiory silnie pierwszej kategorii.

Literatura:

[1] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Math. 156, Springer-Verlag (1995).

[2] S. Solecki, Covering analytic sets by families of closed sets, Journal of Symbolic Logic 59(3) (1994), 1022–1031.

[3] S. Solecki, Analytic ideals and their applications, Ann. Pure Appl. Logic 99 (1999), 51–72.

Efekty uczenia się:

Student:

1. zna podstawy deskryptywnej teorii mnogości, w tym klasyczne przykłady przestrzeni polskich, definicje zbiorów borelowskich i analitycznych oraz zbiorów z własnością Baire'a i pierwszej kategorii,

2. umie się posługiwać znanymi charkteryzacjami ideałów na zbiorach przeliczalnych mających własność Baire’a lub typ F_σ, lub będących P-ideałami analitycznymi,

3. zna szczególne własności σ-ideałów generowanych przez domknięte podzbiory przestrzeni polskich,

4. potrafi wskazać przykłady zbiorów małych w sensie miary lub kategorii i opisać wzajemne związki pomiędzy różnymi klasami takich zbiorów.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Zakrzewski
Prowadzący grup: Piotr Zakrzewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.