Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Osobliwości wybranych dystrybucji geometrycznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M22ODG
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Osobliwości wybranych dystrybucji geometrycznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Pola wektorowe na rozmaitosci - gładkie cięcia wiązki stycznej.

Nawias Liego pól wektorowych - definicja, podstawowe własności i przykłady. Dystrybucje geometryczne (podwiązki wiązki stycznej do rozmaitości) całkowicie nieholonomiczne (ang. 'bracket generating'). Klasyczna rodzina takich, na której wykład ilustruje większość pojęć i konstrukcji, to dystrybucje Goursata.

Ich lokalne własności. W szczególności - ich lokalna nilpotentyzowalność, czyli w obecnej terminologii 'słaba nilpotentność'. Pojęcie silnej nilpotentności, które wydziela wąską podklasę dystrybucji Goursata, wraz z podstawowym pytaniem o opis/charakteryzację wszystkich punktów silnie nilpotentnych w tzw. wieży typu monstrum Goursata (ang. Goursat Monster Tower). Stratyfikacje RVT pięter wieży GMT. Informacja o analogicznych konstrukcjach znanych w geometrii algebraicznej od lat 1950-tych. Interpretacja kinematyczna dystrybucji Goursata i również dystrybucji generujących tzw. specjalne 2-flagi.

Problemy otwarte.

Pełny opis:

Przypomnienie definicji abstrakcyjnej rozmaitości różniczkowalnej.

Różne równoważne definicje wiązki stycznej do rozmaitości. Przykład - rozmaitości macierzowe O(n) w R^{n*n}, opis ich wiązek stycznych.

Pola wektorowe na rozmaitości - gładkie cięcia wiązki stycznej.

Nawias Liego pól wektorowych - definicja, podstawowe własności i przykłady, w tym na rozmaitościach O(n).

Dystrybucja geometryczna, czyli podwiązka wiązki stycznej. Dwa wzajemnie dualne opisy: w języku pól wektorowych i w języku 1-form różniczkowych.

Dystrybucje inwolutywne i charakteryzujące je twierdzenie Frobeniusa (1877).

Struktury kontaktowe na rozmaitościach nieparzystowymiarowych i twierdzenie Darboux (1882).

Dystrybucje rzędu 2 na rozmaitościach 4-wymiarowych. Twierdzenie Engla (1889). Mała (ang. weak derived lub Lie) flaga dystrybucji i duża (ang. derived) flaga dystrybucji. Mały i duży wektor wzrostu (ang., w skrócie, sgrv i bgrv) dystrybucji w punkcie.

Twierdzenia Nagano i Sussmanna o orbitach. Dystrybucje całkowicie nieholonomiczne (ang. bracket-generating). Stopień nieholonomiczności dystrybucji w punkcie (= długość sgrv w punkcie). Twierdzenie (w istocie tylko Vermutung) von Webera (1898). Lokalna równoważność dystrybucji. Słynny kontrprzykład (Kumpera et al, 1978) do Vermutung von Webera.

Nieliczne stabilne pary (rząd dystrybucji, wymiar rozmaitości), wśród nich (2,4). Historycznie ważne pary niestabilne (2,5) i (3,5) (Cartan 1910).

Abslutna równoważność Cartana (1914).

Warunek wzrostu Żytomirskiego (1990) i lokalny opis takich dystrybucji.

Warunek wzrostu von Webera, obecnie: warunek Goursata. Interpretacja kinematyczna dystrybucji Goursata (tj. spełniających warunek Goursata): uproszczony samochód ciągnący za sobą łańcuch pasywnych przyczepek. Rekurencje Jeana (1996) dla sgrv's dystrybucji Goursata (a więc też dla ich stopni nieholonomiczności). Przetłumaczenie stratyfikacji Jeana w modelu kinematycznym 'car + trailers' na język teorii osobliwości.

Przedłużenie Cartana dystrybucji rzędu 2 (Cartan 1914 i Bryant-Hsu 1993). Główne zastosowanie - wieża Goursata typu monstrum (Goursat Monster Tower - GMT, Montgomery-Żytomirski 2001). Stratyfikacja RVT pięter wieży Goursata. Informacja o lokalnej klasyfikacji osobliwości struktur Goursata do piętra Nr 8 włącznie. Ścisły związek osobliwości Goursata i osobliwości krzywych legendrowskich stycznych do ustalonej struktury kontaktowej w 3D (Ishikawa 2002, Montgomery-Żytomirski 2010).

Nilpotentne algebry Liego. Twierdzenie (M., 2000), że dystrybucje Goursata są (efektywnie!) lokalnie nilpotentyzowalne. Rekurencyjne wzory na stopnie nilpotentności algebr nilpotentnych, zwanych algebrami Kumpery-Ruiza, wyrażających lokalnie dystrybucje Goursata. Porównanie z rekurencjami Jeana dla stopni nieholonomiczności.

UWAGA. Czymś - ogólnie rzecz biorąc - zupełnie innym, niż algebra nilpotentna wyrażająca lokalnie dystrybucję, jest aproksymacja nilpotentna, wokół ustalonego punktu, dystrybucji całkowicie nieholonomicznej. DEFINICJA aproksymacji nilpotentnej [kiełka] dystrybucji całkowicie nieholonomicznej.

Motywacje dotyczące aproksymacji nilpotentnych i zastosowania tychże w robotyce i geometrycznej teorii sterowania.

Słaba (= klasyczna, o której mowa tu wyżej) i silna (M., 2000) nilpotentność [kiełka] dystrybucji geometrycznej.

Problemy otwarte (lokalne i jeden globalny) dotyczące dystrybucji Goursata. W szczególności - jak rzadko występuje tam silna nilpotentność.

Przedłużenie Cartana dystrybucji dowolnego rzędu. Wielowymiarowe wieże typu monstrum i dystrybucje żyjące na ich piętrach (tzw. specjalne multi-flagi).

Stratyfikacja pięter wieży dla specjalnych 2-flag uogólniająca stratyfikację RVT dla 1-flag. Informacja nt tych samych wież (!) znanych od dawna w geometrii algebraicznej, i nt zupełnie innych stratyfikacji ich pięter. Lokalna klasyfikacja osobliwości specjalnych 2-flag na piętrach do czwartego włącznie. Otwarte pytania dotyczące pięter Nr 5 i 6; ciągły niezmiennik "żyjący" na piętrze Nr 7. Model kinematyczny dla specjalnych 2-flag (idealny statek kosmiczny ciągnący za sobą w nieważkości w 3D łańcuch pasywnych satelitów).

Specjalne multi-flagi są słabo (tj. klasycznie) nilpotentyzowalne. Stopnie nilpotentności ich algebr Liego są efektywnie (rekurencyjnie) obliczalne.

Tematy możliwych dalszych badań (np w ramach pracy magisterskiej) w szerzej rozumianej dziedzinie analizy nieholonomicznej.

Literatura:

A. Bellaiche, J-J. Risler (eds); Subriemannian Geometry. Birkhauser 1996.

R. Montgomery; A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications. AMS 2002.

P. Mormul; Multi-dimensional Cartan prolongation and special k-flags. Banach Center Publications 65 (2004).

A. Agrachev, Yu. Sachkov; Control Theory from the Geometric Viewpoint. Springer 2005.

R. Mongomery, M. Zhitomirskii; Points and Curves in the Monster Tower. Memoirs of the AMS 956 (2010).

Metody i kryteria oceniania:

Podczas tego cyklu wykładowego nie ma kolokwium. Ćwiczenia poświęcone są bliższemu ilustrowaniu pojęć i konstrukcji wprowadzanych/używanych na wykładzie, jak również dokładniejszym rachunkom i obliczeniom, na które nie starcza czasu na wykładzie.

Zaliczenie przedmiotu (na stopień, w skali od 2 do 5) odbywa się na podstawie krótkich prac - opracowań wykonanych przez słuchaczy w warunkach domowych zaraz po zakończeniu semestru.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2022/23" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2023-02-20 - 2023-06-18
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Mormul
Prowadzący grup: Piotr Mormul
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.1.0-65ff8df66 (2023-01-24)