Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wprowadzenie do geometrii nieprzemiennej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M22WGN
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wprowadzenie do geometrii nieprzemiennej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (opisowo):

Znajomość podstawowych pojęć algebry, analizy i topologii w zakresie kursów studiów. pierwszego stopnia.

Tryb prowadzenia:

lektura monograficzna
mieszany: w sali i zdalnie
w sali

Skrócony opis:

Idea geometrii nieprzemiennej wychodzi od opisu przestrzeni z pewną strukturą (topologią, strukturą różniczkową, teorią miary etc.) za pomocą odpowiedniej algebry funkcji (ciągłych, gładkich, mierzalnych etc.). Następnie, dowodzi się twierdzeń o charakterze geometrycznym za pomocą algebry, analizy funkcjonalnej i algebry homologicznej zastosowanych do tych algebr. Ostatecznie, najbardziej nietrywialny krok polega na takim uogólnieniu tych metod, aby można je było zastosować do algebr nieprzemiennych. Otrzymane rezultaty interpretuje się jako geometryczne własności uogólnionych przestrzeni odpowiadających algebrom nieprzemiennym "funkcji". Konieczność rozważania tak uogólnionych przestrzeni powstaje naturalnie w zagadnieniach teorii reprezentacji grup, teorii układów dynamicznych i fizyce matematycznej.

Pełny opis:

1. Nieprzemienna topologia, geometria różniczkowa i teoria miary (twierdzenie

Gelfanda-Naimarka, geometria spektralna Connesa, algebry von Neumanna)

2. Twierdzenia o indeksie i kohomologie cykliczne (indeks operatora Fredholma, twierdzenie Atiyaha-Singera, twierdzenie Riemanna-Rocha, hipoteza Nowikowa i twierdzenie Connesa-Moscoviciego)

3. Deformacyjna kwantyzacja (rozmaitości Poissona i twierdzenie o formalności Kontsevicha)

4. Grupy kwantowe (zwarte grupy kwantowe i twierdzenie Woronowicza-Petera-Weyla, nieprzemienne uogólnienie dualności Pontriagina, grupy Poissona i kwantowe deformacje grup Liego)

Literatura:

1. John Madore: Noncommutative Geometry for Pedestrians, gr-qc/9906059

2. Joseph C. Varilly: An Introduction to Noncommutative Geometry, gr-

qc/9909059

3. Daniel Sternheimer: Deformation Quantization: Twenty Years After,

math/9809056

oraz wybrane fragmenty z poniższych pozycji z sugestią dalszej lektury:

4. Alain Connes: Noncommutative Geometry, Academic Press 1994.

5. Jose M. Gracia-Bondia, Joseph C. Varilly and Hector Figueroa: Elements of

Noncommutative Geometry Birkhauser 2001.

6. Giovanni Landi: Noncommutative Spaces and their Geometry, Lecture Notes

in physics, Springer 2002, hep-th/9701078.

7. John Madore: An Introduction to Noncommutative Differenial Geometry and

its Physical Applications. Second Edition Cambridge University Press, Cambridge 1999

8. Simone Gutt: Variations on Deformation Quantization, math/0003107.

Efekty uczenia się:

Student

1) zna podstawowe pojęcia geometrii nieprzemiennej,

2) potrafi odnieść je do klasycznych zagadnień geometrii (topologii, geometrii różniczkowej itd.),

3) rozumie rolę idei geometrii nieprzemiennej w ich współczesnym przeformułowaniu i rozwiązaniu w znacznie większej ogólności,

4) potrafi podać przykłady wzajemnych inspiracji między geometrią nieprzemienną i fizyką kwantową,

5) jest przygotowany do samodzielnej lektury zasugerowanej literatury, koniecznej do zrozumienia najnowszych rezultatów w tej dziedzinie.

Metody i kryteria oceniania:

Zaliczenie na podstawie aktywnego udziału w ćwiczeniach i zreferowania

jednego zagadnienia wybranego z listy zadanych.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2024-10-01 - 2025-01-26

Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Maszczyk
Prowadzący grup: Tomasz Maszczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.0.4.0-7ba4b2847 (2024-06-12)