Losowe układy dynamiczne

monograficzne

Nie jest wymagane przygotowanie z zakresu ogólnej teorii układów dynamicznych. Wskazane jest wcześniejsze zaliczenie przedmioty Rachunek Prawdopodobieństwa II.

w sali

Celem wykładu jest zapoznanie uczestników z podstawami teorii losowych układów dynamicznych. Wykład będzie ilustrowany przykładami zastosowań, w tym - wybranymi publikacjami.

Celem wykładu jest zapoznanie z podstawowymi zagadnieniami losowych układów dynamicznych. Nie zakładamy żadnej wiedzy z ogólnej teorii układów dynamicznych. Zakładamy że słuchacz ma za sobą kurs Rachunku Prawdopodobieństwa II.

Zakres tematyczny:

• Jednowymiarowe losowe układy dynamiczne rzeczywiste i zespolone (m.in działanie losowych homeomorfizmów okręgu, przekształceń odcinka, przekształceń Mobiusa, iterowane niehiperboliczne układy funkcyjne). Ta tematyka wypełni początkową, sporą część wykładu. Nie wymaga ona wcześniejszego przygotowania. Może być jednak bardzo dobrym źródłem problemów (łatwiejszych i niełatwych) do samodzielnego rozwiązywania; w szczególności- tematów prac magisterskich.

• Miary niezmiennicze dla układów losowych, i miary stacjonarne dla procesów generowanych przez układy losowe.

• Losowe podzbiory R^n.

• Miary losowe na przestrzeniach polskich, topologie w przestrzeni miar losowych,

warunki zwartości.

• Dynamika losowych wielomianów i losowych konforemnych układów iteracyjnych na płaszczyźnie zespolonej.

. Osobliwe (to znaczy: inne niż spodziewane przez analogię z dynamiką nielosową) zjawiska w dynamice losowej.

Losowe zbiory fraktalne i ich zastosowania.

• Losowe układy zależne od parametru.

Literatura

Książki- do wykorzystania w wybranych fragmentach)

H. Crauel, Random probability measures on Polish spaces - tekst umieszczony przez autora na platformie Research gate,

L. Arnold, Random dynamical systems, Springer, 1998

A. Navas, Groups of circle diffeomorphisms, Chicago Lectures in Mathematic Series, 2011; zbliżony tekst autora dostępny na platformie Arxiv

oraz przykładowe prace z ostatnich lat, które postaramy się (częściowo) omówić:

Lista przykładowych publikacji do omówienia:

A.Bonifant, J. Milnor, Schwarzian derivatives and cylinder maps, Holomorphic dyna-mics and renormalization, 1–21, Fields Inst. Commun., 53, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008

L. Alseda, M.Misiurewicz, Skew product attractors and concavity, Proc Amer.

Math.Soc.143 (2015), 703-716

L. Alseda, M.Misiurewicz, Random interval homeomorphisms, Publ. Mat. (2014), 15–36 Proceedings of New Trends in Dynamical Systems. Salou, 2012.

A. Ambroladze, H. Wallin, Random iteration of Mobius transformations and Furstenberg’s theorem, Ergodic Theory Dynam. Systems 20 (2000), 953-962.

T.Szarek, A. Zdunik, Stability of Iterated Function Systems on the circle, Bull. London Math. Soc. (48) 2016

K.Lech, A.Zdunik, Total disconnectedness of Julia sets of random

quadratic polynomials. Ergodic Theory Dynam. Systems 42 (2022), no. 5, 1764–1780.

H. H. Rugh: On the dimensions of conformal repellers. Randomness and parameter dependency, Ann Math. 168 (2008)

V. Mayer, M. Urbański, A. Zdunik: Real analyticity for random dynamics of transcendental functions, Ergodic Theory Dynam. Systems 40(2020), 490–520

D. Belayev, S. Smirnov: Random conformal snowflakes Ann. Math. 172 (2010),

oraz te prace które nas w międzyczasie zainteresują, albo zostaną (w międzyczasie) napisane.

Uczestnicy tego kursy będą mieli możliwość zapoznania się z podstawowymi narzędziami losowych układów dynamicznych oraz z nowymi wątkami badań. Kurs może być punktem wyjścia do własnej pracy badawczej lub do przygotowania pracy magisterskiej.

Zasady zaliczenia: Regularna obecność i aktywność na zajęciach.

Samodzielne przygotowanie oraz wygłoszenie prezentacji (wykładu) na zaproponowany temat.

Samodzielne opracowanie w formie eseju oraz przedstawienie wybranej pozycji (artykułu) z zaproponowanej literatury dodatkowej.