Metody badania regularności rozwiązań zagadnień eliptycznych

seminaria monograficzne

Seminarium stawia sobie za cel przedstawienie gamy metod, stosowanych do badania regularności rozwiązań równań lub układów eliptycznych.

Seminarium ma wprowadzić słuchacza w elementarz narzędzi używanych w teorii równań różniczkowych cząstkowych do badania regularności słabych

rozwiązań zagadnień eliptycznych.

Zagadnienia eliptyczne zostały przez nas wybrane dla ustalenia uwagi, by skupić się raczej na rzetelnym przedstawieniu samej idei metody niż na

analizie pola jej stosowalności. Chcemy jednak wspomnieć, że owe metody znajdują zastosowanie przy badaniu szerszych klas równań i problemów: zagadnień parabolicznych, zagadnień odwrotnych, zagadnień związanych z przejściami fazowymi i homogenizacją.

W ramach podstawowego kursu Równań Różniczkowych Cząstkowych 1 słuchacze nie mają w zasadzie styczności z teorią regularności słabych rozwiązań

(poza, nie zawsze dowodzonym, Lematem Weyla).

Pewne elementy teorii regularności pojawiają się w czasie kursu Równań Różniczkowych Cząstkowych 2 (metoda ilorazów różnicowych, oszacowania

Schauderowskie) — dotyczą one jednak tylko zagadnień liniowych. W ramach seminarium chcielibyśmy rozszerzyć wiedzę o metodach służących

analizie regularności dla zagadnień liniowych i przedstawić metody analizy dla zagadnień nieliniowych.

Nie planujemy ograniczać się do zagadnień drugiego rzędu.

Zarys materiału

1. Lepsza całkowalności rozwiązań, nierówność Caccioppoliego, metoda ilorazów różnicowych, metoda wypełniania dziur;

2. Oszacowania Schauderowskie, przestrzenie Morreya i Campanato;

3. Hölderowska ciągłość rozwiązań dla równań eliptycznych:

- metoda de Giorgi,

- metoda iteracji Mosera,

- nierówność Harnacka;

4. Częściowa regularność rozwiązań w przypadku układów, kontrprzykłady na brak całkowitej regularności; odwrotna nierówność Höldera i lemat Gehringa;

5. Metody badania domkniętości (zwartości) przestrzeni słabych rozwiązań, lemat Lionsa;

1. Bensoussan, J. Frehse Regularity results for nonlinear elliptic systems and applications.

2. M. Struwe, Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems.

3. L. Simon, Theorems on Regularity and Singularity of Energy Minimizing Maps

4. J. Jost, Partial differential equations

5. M. Giaquinta, L. Martinazzi, An Introduction to the Regularity Theory for Elliptic Systems, Harmonic Maps and Minimal Graphs

6. L.C. Evans, Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations

Wygłoszenie co najmniej jednego seminarium w semestrze.