Gładkość, jej brak i osobliwości rozwiązań równań eliptycznych i parabolicznych

seminaria monograficzne

Seminarium poświęcone jest opisywaniu przeszkód do regularności rozwiązań równań eliptycznych lub parabolicznych. Są one różnej natury. Okazuje się,

że nawet funkcje harmoniczne mogą być osobliwe, jeśli obszar, w którym je rozpatrujemy jest niegładki, np. wielokątny. Jest spora grupa zagadnień

eliptycznych, w których źródłem osobliwości jest nieliniowość. Ta grupa tematyczna jest najobszerniejsza. Dodatkowo zajmiemy się wstępem do teorii

Fujity, czyli teorii wybuchów rozwiązań nielinowych równań parabolicznych.

Słuchacze wykładu z RRCz w pewnym momencie dowiadują się, że rozwiązania liniowych równań eliptycznych są tak gładkie, jak tylko dane (współczynniki równania, dane brzegowe, regularność samego brzegu obszaru) na to pozwalają. Podobnie ma się sprawa z równaniami parabolicznymi. Interesuje nas pytanie, czy (a jeżeli tak, to jakich) osobliwości rozwiązań możemy się spodziewać, gdy w równaniu pojawiają się człony nieliniowe lub brzeg obszaru nie jest rozmaitością różniczkową? Z tym wiąże się oczywiście dodatkowe pytanie: co w ogóle rozumiemy przez osobliwość rozwiązania.

Chcielibyśmy zająć się następującymi grupami zagadnień:

1) Nieregularność rozwiązań równań eliptycznych spowodowana niegładkością brzegu obszaru.

Najprostszym przykładem tego typu zagadnień są równania rozważane na wielokątach. To ważna i intensywnie badana grupa równań, przede wszystkim dlatego, że wszelkie obliczenia numeryczne w rzeczywistości przeprowadzane są w obszarach wielokątnych (ew. wielościennych). Dlatego też postęp badań w tej dziedzinie w ostatnich latach jest dziełem specjalistów od metod obliczeniowych. My chcemy przedstawić klasyczne wyniki P. Grisvarda i nowe prace F. Assous i P. Ciarleta, Jr. [ACSe], [ACSo]

Osobliwości rozwiązań związane z członami nieliniowymi to bardzo szeroka dziedzina, z ciekawymi wynikami zarówno w przypadku eliptycznym, jak i parabolicznym. My chcemy skoncentrować się na dwóch grupach problemów.

2) Dość łatwo można wskazać przykład równania parabolicznego, którego rozwiązania wybuchają w skończonym czasie. Badaniem takich rozwiązań zajmuje się Teoria Fujity, rozwijana od lat 60-tych XX wieku. Chcemy zaprezentować jej początkowe etapy rozwoju na podstawie prac samego H. Fujity, [F], a potem przedstawić bardziej współczesne wyniki pokazujące strukturę wybuchającego rozwiązania, zawarte w słynnych pracach Y. Gigi i R.V. Kohna, [GK1], [GK2].

3) Ważną klasą nieliniowych równań różniczkowych, są tzw. równania i układy równań eliptycznych o krytycznym wzroście. Są to równanie w których pewne człony niższego rzędu są (przy naturalnych założeniach na przestrzeń słabych rozwiązań) a priori jedynie całkowalne. Wiele takich równań pochodzi od zagadnień wariacyjnych mają pochodzenie wariacyjne: pojawiają się w naturalny sposób jako równania Eulera-Lagrange'a dla pewnych funkcjonałów energii.

Analiza regularności rozwiązań takich równań napotyka rozmaite problemy:

- w pewnych wymiarach rozwiązania mogą być bardzo nieregularne (przykład

- podany przez T. Riviere'a - przekształcenia harmonicznego między kulą trójwymiarową a sferą dwuwymiarową, które jest nieciągłe w każdym punkcie [R]);

- wykazanie regularności (a często i istnienia) słabych rozwiązań może wymagać dodatkowych założeń (na przykład że rozwiązanie jest minimum funkcjonału energii, a nie tylko jego punktem krytycznym).

Zamierzamy zilustrować te problemy na przykładzie dwóch ciekawych zagadnień:

a) przekształceń harmonicznych między rozmaitościami; jest to głęboki temat. Nie będziemy wchodzić we wszystkie szczegóły, zatrzymamy się na prostszych przypadkach. Pokażemy jak dzięki dodatkowym założeniom związanym ze sformułowaniem wariacyjnym zagadnienia otrzymuje się tzw. formuły monotoniczności, które umożliwiają kontrolę nad normami Morreya słabych rozwiązań. Te zagadnienia będziemy omawiać na podstawie książki L. Simona [S], ewentualnie sięgając do prac F. Heleina oraz R. Schoena i K. Uhlenbeck.

b) H-układów (są to układy eliptyczne związane z opisem (hiper)-powierzchni o zadanej średniej krzywiźnie). Tutaj sformułowanie wariacyjne także przynosi dodatkową informację o rozwiązaniu (tzw. nierówności izoperymetryczne). Ta dodatkowa informacja pozwala poradzić sobie ze zjawiskiem "bąblowania". To ostatnie zjawisko ma miejsce, gdy przy przejściu do słabej granicy w ciągu rozwiązań przybliżonych (np. w metodzie bezpośredniej rachunku wariacyjnego) dochodzi do skokowego spadku energii. Jest to związane ze zmianą własności topologicznych rozwiązania (w stosunku do rozwiązań przybliżonych) i jest, co do zasady, zjawiskiem niepożądanym.

To zagadnienie bardzo ładnie ilustruje też problem niejednoznaczności słabych rozwiązań - są one punktami krytycznymi, ale niekoniecznie minimami funkcjonału energii; brak jednoznaczności rozwiązań może mieć miejsce nawet przy bardzo regularnych warunkach brzegowych.

Zamierzamy to zjawisko zaprezentować sięgając do słynnych prac Brezisa i Corona [BR], Bethuela i Reya [BR] oraz Duzaara i Grotowskiego [DG1].

[ACSe] F.Assous, P.Ciarlet, Jr, J.Segre,

Numerical Solutions to the time-dependent Maxwell equations in two-dimenional singular domains: the Singular Complement Method, J. Comput. Phys., 161, (2000), 218-249.

[ACSo] F.Assous, P.Ciarlet, Jr, E.Sonnendreucker,

Resolution of the Maxwell equations in in a domian with reentrant corners, Math. Mod. Numer. Anal., 32, (1998), 359-389.

[BC] Brezis, Haïm; Coron, Jean-Michel

Multiple solutions of H-systems and Rellich's conjecture. Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), no. 2, 149–187.

[BR] Bethuel, Fabrice; Rey, Olivier

Multiple solutions to the Plateau problem for nonconstant mean curvature. Duke Math. J. 73 (1994), no. 3, 593–646.

[DG1] F.Duzaar, J.Grotowski,

Existence and regularity for higher-dimensional H-systems. Duke Math. J. 101 (2000), no. 3, 459–485.

[F] H.Fujita,

On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for u_t=\Delta u+u^{1+\alpha}. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 13 1966 109–124 (1966).

[GK1] Y.Giga, R.V.Kohn,

Characterizing blowup using similarity variables. Indiana Univ. Math. J. 36 (1987), no. 1, 1–40.

[GK2] Y.Giga, R.V.Kohn,

Asymptotically self-similar blow-up of semilinear heat equations. Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985), no. 3, 297–319.

[Gr] P.Grisvard,

Singularities in boundary value problems. Masson, Paris, 1992.

[R] T.Rivière,

Everywhere discontinuous harmonic maps into spheres. Acta Math. 175 (1995), no. 2, 197–226.

[S] L.Simon,

Theorems on Regularity and Singularity of Energy Minimizing Maps, Birkhauser, 1996

Dodatkowe źródła:

M.-H.Giga, Y.Giga, J.Saal,

Nonlinear partial differential equations. Birkhauser, 2010

Opis efektów kształcenia:

1) Zna i rozumie opis osobliwości rozwiązań równań eliptycznych w wielokątach.

2) Zna i rozumie opis osobliwości rozwiązań eliptycznych o krytycznym wzroście.

3) Zna i rozumie czym są odwzorowanie harmoniczne w rozmaitości

4) Zna i rozumie czym jest zjawisko "bąblowania" w geometrycznych zagadnieniach wariacyjnych

5) Zna i rozumie podstawy teorii wybuchów rozwiązań równań parabolicznych.

warunki zaliczenia

Wygłoszenie przynajmniej jednego referatu w semestrze.