Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Metody lepkościowe w równaniach eliptycznych i parabolicznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1S17MLE
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Metody lepkościowe w równaniach eliptycznych i parabolicznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

seminaria monograficzne

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Zasad maksimum głosi, że funkcje harmoniczne na obszarze ograniczonym przyjmują swoje kresy na brzegu obszaru. Prowadzi ona do zasady porównawczej, mówiącej, że możemy porównać dwie funkcje harmoniczne o ile potrafimy porównać ich wartości brzegowe. Okazuje się, że te proste spostrzeżenia prowadzą do bogatej teorii rozwiązań lepkościowych równań eliptycznych i parabolicznych, a zwłaszcza tych, dla których nie możemy sformułować rozwiązań słabych

Pełny opis:

Klasyczne nad- podrozwiązania dla równania Laplace'a czy równań reakcji-dyfuzji mają swoją długą historię. Metoda Perrona brania supremum rodziny podrozwiązań była historycznie jednym ze sposobów na wykazanie istnienia rozwiązań, [GT], [L]. Można ją też stosować, gdy potrzebne są rozwiązania o szczególnych właściwościach. Ponieważ rozwijanie teorii nad-

podrozwiązań wymaga jedynie zasady porównawczej, to znajduje ona szerokie zastosowanie (np. w teorii p-laplasjanu, w zagadnieniach na przestrzeniach metrycznych) i leży u podstaw teorii rozwiązań lepkościowych. Ograniczymy się do zagadnień eliptycznych i parabolicznych pomijając liczne prace dotyczące równań Hamiltona-Jacobiego.

Omówiwszy klasyczne podejście do nad- i podrozwiązań równania Laplace'a i przewodnictwa cieplnego przedstawimy klasyczne wyniki dla ewolucji średnio-krzywiznowej, [CGG] i [ES]. Te prace dały początek nowemu kierunkowi badań, traktując (hiper)powierzchnię jak poziomicę funkcji. Pozwoliło na rozwijanie nowych metod, omówimy wybrane z nich na podstawie książki [G].

Jednocześnie nie tracimy z pola widzenia zastosowań metod lepkościowych do innych rodzajów równań parabolicznych, takich jak paraboliczna wersja równania p-Laplace'a [KLP] albo równanie ośrodków porowatych, [KLL]

Literatura:

[CGG] Chen, Yun Gang; Giga, Yoshikazu; Goto, Shun'ichi Uniqueness and existence of viscosity solutions of generalized mean

curvature flow equations. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 3, 749–786

[ES] Evans, L. C.; Spruck, J. Motion of level sets by mean curvature. I. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 3, 635–681.

[G] Giga, Yoshikazu Surface evolution equations. A level set approach. Monographs in Mathematics, 99. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006.

[GT] Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Second edition.

Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224.

Springer-Verlag, Berlin, 1983

[KLL] Kinnunen, Juha; Lindqvist, Peter; Lukkari, Teemu Perron's method for the porous medium equation. J. Eur. Math. Soc.

(JEMS) 18 (2016), no. 12, 2953–2969.

[KLP] Kinnunen, Juha; Lukkari, Teemu; Parviainen, Mikko An existence result for superparabolic functions. J. Funct. Anal.

258 (2010), no. 3, 713–728.

[L] Lieberman, Gary M. Second order parabolic differential equations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996

Efekty uczenia się:

1. Student zna i rozumie pojęcie nad- i podrozwiązania równania Poissona i równania ciepła;

2, Student zna i rozumie sformułowanie zasady porównawczej dla równań eliptycznych i parabolicznych;

3. Student zna i rozumie pojęcie rozwiązania lepkościowego dla równań eliptycznych i parabolicznych;

4. Student zna i rozumie pojęcie ewolucji średniokrzywiznowej;

5. Student zna metody analizy dla równań parabolicznych wywodzące się z badania ewolucji średniokrzywiznowej.

Metody i kryteria oceniania:

Warunkiem zaliczenia jes wygłoszenie przynajmniej jednego referatu w semestrze.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)