Metody lepkościowe w równaniach eliptycznych i parabolicznych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1S17MLE |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Metody lepkościowe w równaniach eliptycznych i parabolicznych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
Rodzaj przedmiotu: | seminaria monograficzne |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Zasad maksimum głosi, że funkcje harmoniczne na obszarze ograniczonym przyjmują swoje kresy na brzegu obszaru. Prowadzi ona do zasady porównawczej, mówiącej, że możemy porównać dwie funkcje harmoniczne o ile potrafimy porównać ich wartości brzegowe. Okazuje się, że te proste spostrzeżenia prowadzą do bogatej teorii rozwiązań lepkościowych równań eliptycznych i parabolicznych, a zwłaszcza tych, dla których nie możemy sformułować rozwiązań słabych |
Pełny opis: |
Klasyczne nad- podrozwiązania dla równania Laplace'a czy równań reakcji-dyfuzji mają swoją długą historię. Metoda Perrona brania supremum rodziny podrozwiązań była historycznie jednym ze sposobów na wykazanie istnienia rozwiązań, [GT], [L]. Można ją też stosować, gdy potrzebne są rozwiązania o szczególnych właściwościach. Ponieważ rozwijanie teorii nad- podrozwiązań wymaga jedynie zasady porównawczej, to znajduje ona szerokie zastosowanie (np. w teorii p-laplasjanu, w zagadnieniach na przestrzeniach metrycznych) i leży u podstaw teorii rozwiązań lepkościowych. Ograniczymy się do zagadnień eliptycznych i parabolicznych pomijając liczne prace dotyczące równań Hamiltona-Jacobiego. Omówiwszy klasyczne podejście do nad- i podrozwiązań równania Laplace'a i przewodnictwa cieplnego przedstawimy klasyczne wyniki dla ewolucji średnio-krzywiznowej, [CGG] i [ES]. Te prace dały początek nowemu kierunkowi badań, traktując (hiper)powierzchnię jak poziomicę funkcji. Pozwoliło na rozwijanie nowych metod, omówimy wybrane z nich na podstawie książki [G]. Jednocześnie nie tracimy z pola widzenia zastosowań metod lepkościowych do innych rodzajów równań parabolicznych, takich jak paraboliczna wersja równania p-Laplace'a [KLP] albo równanie ośrodków porowatych, [KLL] |
Literatura: |
[CGG] Chen, Yun Gang; Giga, Yoshikazu; Goto, Shun'ichi Uniqueness and existence of viscosity solutions of generalized mean curvature flow equations. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 3, 749–786 [ES] Evans, L. C.; Spruck, J. Motion of level sets by mean curvature. I. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 3, 635–681. [G] Giga, Yoshikazu Surface evolution equations. A level set approach. Monographs in Mathematics, 99. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006. [GT] Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224. Springer-Verlag, Berlin, 1983 [KLL] Kinnunen, Juha; Lindqvist, Peter; Lukkari, Teemu Perron's method for the porous medium equation. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 18 (2016), no. 12, 2953–2969. [KLP] Kinnunen, Juha; Lukkari, Teemu; Parviainen, Mikko An existence result for superparabolic functions. J. Funct. Anal. 258 (2010), no. 3, 713–728. [L] Lieberman, Gary M. Second order parabolic differential equations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996 |
Efekty uczenia się: |
1. Student zna i rozumie pojęcie nad- i podrozwiązania równania Poissona i równania ciepła; 2, Student zna i rozumie sformułowanie zasady porównawczej dla równań eliptycznych i parabolicznych; 3. Student zna i rozumie pojęcie rozwiązania lepkościowego dla równań eliptycznych i parabolicznych; 4. Student zna i rozumie pojęcie ewolucji średniokrzywiznowej; 5. Student zna metody analizy dla równań parabolicznych wywodzące się z badania ewolucji średniokrzywiznowej. |
Metody i kryteria oceniania: |
Warunkiem zaliczenia jes wygłoszenie przynajmniej jednego referatu w semestrze. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.