Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do hipotezy Bauma-Connesa

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1S24HBM
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Wstęp do hipotezy Bauma-Connesa
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

seminaria monograficzne

Założenia (opisowo):

Oczekujemy wiedzy z elementarnych wykładów z analizy funkcjonalnej i z topologii (znajomości podstawowych elementów teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta i podstawowych pojęć topologicznych).


Nie wymagamy przygotowania z algebr operatorowych ani zaawansowanej geometrii, wszystkie pojęcia będą definiowane i wyjaśniane na bieżąco.


Skrócony opis:

Przedstawiamy wprowadzenie do hipotezy Bauma-Connesa opisującej głęboki związek między pewnymi geometrycznymi i analitycznymi obiektami związanymi z grupami dyskretnymi (identyfikujący K-teorię C*-algebry grupowej z ekwiwariantną K-homologią odpowiedniej topologicznej przestrzeni klasyfikującej działania grupy).

Pełny opis:

Przedstawimy wprowadzenie do hipotezy Bauma-Connesa opisującej głęboki związek między pewnymi geometrycznymi i analitycznymi obiektami związanymi z grupami dyskretnymi (identyfikujący K-teorię C*-algebry grupowej z ekwiwariantną K-homologią odpowiedniej topologicznej przestrzeni klasyfikującej działania grupy).

W szczególności przedstawimy wszystkie pojęcia pojawiające się w sformułowaniu hipotezy.

Program przedmiotu będzie zawierał następujące zagadnienia.

Definicja C*-algebry i C*-algebraiczna K-teoria (definicje, przykłady, własności funktorialne, okresowość Botta).

C*-algebry grup dyskretnych: konstrukcja, przykłady, własności.

Przestrzenie klasyfikujące dla działań grup (definicje i przykłady) oraz ekwiwariantna K-homologia.

(Ekwiwariantna) KK-teoria Kasparowa.

Definicje analitycznego odwzorowania `gromadzącego’ i przykłady.

Szkic aktualnego stanu wiedzy o hipotezie Bauma-Connesa, jej warianty i rozszerzenia (hipoteza dla grupoidów, hipoteza z współczynnikami).

Literatura:

Alain Valette, Introduction to the Baum-Connes conjecture. From notes taken by Indira Chatterji. With an appendix by Guido Mislin. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. x+104 pp. (główne źródło)

Maria Gomez Aparicio, Pierre Julg, Alain Valette, The Baum-Connes conjecture: an extended survey. in Advances in noncommutative geometry—on the occasion of Alain Connes' 70th birthday, 127–244, Springer, Cham, [2019], ©2019.

N. E. Wegge-Olsen, K-Theory and C*-Algebras: A Friendly Approach,

Guido Mislin and Alain Valette, Proper group actions and the Baum-Connes conjecture. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003. viii+131 pp

Efekty uczenia się:

Student zna definicję C*-algebr oraz ich K-teorii, zna własności funktorialne K-teorii i potrafi je wykorzystać w konkretnych przykładach.

Potrafi skonstruować C*-algebry grupowe, wie, jakie ich własności pamiętają własności grupy.

Zna topologiczne konstrukcje związane z przestrzeniami klasyfikującymi dla działań grupowych i umie przedstawić ich przykłady.

Potrafi zdefiniować analityczne odwzorowanie `gromadzące’ (assembly map) oraz sformułować `dwa elementy’ hipotezy Bauma-Connesa (surjektywność i iniektywność odwzorowania gromadzącego). Umie przedstawić ich konsekwencje.

Rozumie związek między hipotezą Bauma-Connesa a teorią indeksu Atiyah-Singera.

Zna aktualny stan wiedzy dotyczący hipotezy.

Metody i kryteria oceniania:

Prezentacje tematów.

Obecność na zajęciach i aktywne uczestnictwo.

Zajęcia w cyklu "Rok akademicki 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2024-10-01 - 2025-06-08

Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Seminarium monograficzne, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Nowak, Adam Skalski
Prowadzący grup: Piotr Nowak, Adam Skalski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Zaliczenie na ocenę
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.0.4.0-7ba4b2847 (2024-06-12)