Wstęp do hipotezy Bauma-Connesa

matematyka

seminaria monograficzne

Oczekujemy wiedzy z elementarnych wykładów z analizy funkcjonalnej i z topologii (znajomości podstawowych elementów teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta i podstawowych pojęć topologicznych).

Nie wymagamy przygotowania z algebr operatorowych ani zaawansowanej geometrii, wszystkie pojęcia będą definiowane i wyjaśniane na bieżąco.

Przedstawiamy wprowadzenie do hipotezy Bauma-Connesa opisującej głęboki związek między pewnymi geometrycznymi i analitycznymi obiektami związanymi z grupami dyskretnymi (identyfikujący K-teorię C*-algebry grupowej z ekwiwariantną K-homologią odpowiedniej topologicznej przestrzeni klasyfikującej działania grupy).

Przedstawimy wprowadzenie do hipotezy Bauma-Connesa opisującej głęboki związek między pewnymi geometrycznymi i analitycznymi obiektami związanymi z grupami dyskretnymi (identyfikujący K-teorię C*-algebry grupowej z ekwiwariantną K-homologią odpowiedniej topologicznej przestrzeni klasyfikującej działania grupy).

W szczególności przedstawimy wszystkie pojęcia pojawiające się w sformułowaniu hipotezy.

Program przedmiotu będzie zawierał następujące zagadnienia.

Definicja C*-algebry i C*-algebraiczna K-teoria (definicje, przykłady, własności funktorialne, okresowość Botta).

C*-algebry grup dyskretnych: konstrukcja, przykłady, własności.

Przestrzenie klasyfikujące dla działań grup (definicje i przykłady) oraz ekwiwariantna K-homologia.

(Ekwiwariantna) KK-teoria Kasparowa.

Definicje analitycznego odwzorowania `gromadzącego’ i przykłady.

Szkic aktualnego stanu wiedzy o hipotezie Bauma-Connesa, jej warianty i rozszerzenia (hipoteza dla grupoidów, hipoteza z współczynnikami).

Alain Valette, Introduction to the Baum-Connes conjecture. From notes taken by Indira Chatterji. With an appendix by Guido Mislin. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. x+104 pp. (główne źródło)

Maria Gomez Aparicio, Pierre Julg, Alain Valette, The Baum-Connes conjecture: an extended survey. in Advances in noncommutative geometry—on the occasion of Alain Connes' 70th birthday, 127–244, Springer, Cham, [2019], ©2019.

N. E. Wegge-Olsen, K-Theory and C*-Algebras: A Friendly Approach,

Guido Mislin and Alain Valette, Proper group actions and the Baum-Connes conjecture. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003. viii+131 pp

Student zna definicję C*-algebr oraz ich K-teorii, zna własności funktorialne K-teorii i potrafi je wykorzystać w konkretnych przykładach.

Potrafi skonstruować C*-algebry grupowe, wie, jakie ich własności pamiętają własności grupy.

Zna topologiczne konstrukcje związane z przestrzeniami klasyfikującymi dla działań grupowych i umie przedstawić ich przykłady.

Potrafi zdefiniować analityczne odwzorowanie `gromadzące’ (assembly map) oraz sformułować `dwa elementy’ hipotezy Bauma-Connesa (surjektywność i iniektywność odwzorowania gromadzącego). Umie przedstawić ich konsekwencje.

Rozumie związek między hipotezą Bauma-Connesa a teorią indeksu Atiyah-Singera.

Zna aktualny stan wiedzy dotyczący hipotezy.

Prezentacje tematów.

Obecność na zajęciach i aktywne uczestnictwo.