Metody stochastyczne i termodynamiczne w układach dynamicznych

Wprowadzenie do teorii formalizmu termodynamicznego i jej zastosowań w układach dynamicznych i geometrii fraktalnej.

Teoria formalizmu termodynamicznego, stworzona w latach siedemdziesiątych XX wieku przez R. Bowena, D. Ruelle'a i J. Sinaia, ma swoje źródła w mechanice statystycznej — teorii fizycznej zajmującej się układami wielu oddziałujących ze sobą cząstek i opisującej ich zachowania przy pomocy metod pochodzących z rachunku prawdopodobieństwa. Formalizm termodynamiczny stał się ważnym narzędziem służącym do opisu ergodycznych własności układów dynamicznych. Ma też głębokie związki z teorią wymiaru w geometrii fraktalnej.

Na seminarium przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii formalizmu termodynamicznego, takie jak entropia topologiczna i teoriomiarowa, dynamika symboliczna, operator Perrona—Frobeniusa, ciśnienie topologiczne, miary Gibbsa, zasada wariacyjna, wzór Bowena, a także jej zastosowania w dynamice holomorficznej i badaniu konforemnych iteracyjnych układów funkcyjnych.

W semestrze zimowym będziemy głównie omawiać materiał znajdujący się w monografiach wymienionych w literaturze przedmiotu. W semestrze letnim sięgniemy do artykułów badawczych związanych z omawianą problematyką.

Luis Barreira, Thermodynamic formalism and applications to dimension theory, Progr. Math., 294, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011.

Falconer, Kenneth, Techniques in fractal geometry, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1997.

Feliks Przytycki, Mariusz Urbański, Conformal fractals: ergodic theory methods, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 371, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

David Ruelle, Thermodynamic formalism, Cambridge Math. Lib., Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

Michel Zinsmeister, Thermodynamic formalism and holomorphic dynamical systems, SMF/AMS Texts Monogr., 2, American Mathematical Society, Providence, RI; Société Mathématique de France, Paris, 2000.