Student proseminar on “Methods of Higher Algebra and Geometry in Physics”
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1100-5sMHA |
Kod Erasmus / ISCED: | (brak danych) / (brak danych) |
Nazwa przedmiotu: | Student proseminar on “Methods of Higher Algebra and Geometry in Physics” |
Jednostka: | Wydział Fizyki |
Grupy: |
Fizyka i astronomia; seminaria (Lista S) |
Punkty ECTS i inne: |
4.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | proseminaria |
Założenia (opisowo): | ): Proseminarium jest adresowane do studentów z ponad-elementarną kulturą matematyczną i predyspozycjami do jej wykorzystania w nakreślonym wyżej kontekście fizykalnym. Jego naturalnymi odbiorcami są studenci specjalności fizyka teoretyczna i fizyka matematyczna, ale także – studenci matematyki. Prerekwizyty to kurs analizy i algebry oraz geometrii różniczkowej. Mile widziana jest znajomość podstaw teorii grup i algebr, w tym – grup i algebr Liego. |
Tryb prowadzenia: | mieszany: w sali i zdalnie |
Pełny opis: |
Proseminarium będzie poświęcone dyskusji zastosowań metod wyższej algebry oraz wyższej geometrii w matematycznie rygorystycznym i kwantowomechanicznie spójnym modelowaniu dynamiki obiektów zwartych (cząstek punktowych, pętli, membran itp.) oraz pól nad czasoprzestrzenią w obecności ładunku topologicznego, w opisie symetrii tejże dynamiki i jej cechowania. Przedmiotem rozważań szczegółowych będą niskowymiarowe modele sigma dynamiki geodezyjnej rozciągłych rozkładów energii i ładunku w zewnętrznym polu grawitacyjnym zaburzonej przez geometryczne sprzężenie typu Wessa-Zumino zewnętrznego pola p-formy (uogólniającego pole elektromagnetyczne) do ładunku topologicznego, np. model Wessa-Zumino-Wittena dwuwymiarowej wymiernej konforemnej teorii pola na zwartej grupie Liego, jak również – modele topologicznej teorii pola z symetrią cechowania, np. trójwymiarowa teoria Cherna-Simonsa. Zostaną omówione podstawowe konstrukcje niezbędne do ścisłego sformułowania takich modeli w reżymie klasycznym, identyfikacji ich symetrii oraz cechowania tych ostatnich w uniwersalnym schemacie wykraczającym istotnie poza schemat sprzężenia minimalnego, a także – ich geometrycznego wzgl. funktorialnego kwantowania poprzez tzw. transgresję kohomologiczną uzgodnioną z symetriami, tj. w istocie poprzez konkretną realizację programu Diraca. Omówione też zostaną dualności w przestrzeni modułów tego typu teorii i odpowiadające im wyżej-geometryczne oraz -kategorialne obiekty. Wszystkie te rozważania zostaną wpisane w szeroki kontekst teorii pola z defektami i określą punkt wyjścia do dyskusji tzw. emergentnej geometrii modeli sigma, w tym – jej postaci nieprzemiennej oraz fazy nie-riemannowskiej (tzw. T-foldy). Narzędzia i konstrukcje kohomologiczne i teoriokategorialne znajdą też zastosowanie w klasyfikacji nierównoważnych teorii opisanego typu, jak również – obstrukcji wobec cechowania ich symetrii sztywnych i klasyfikacji cechowań nierównoważnych. Rozważania, prowadzone pierwotnie w kategorii geometrycznej bez gradacji, zostaną następnie przeniesione do kategorii supergeometrycznej z użyciem wprowadzonych wcześniej elementów teorii snopów, co pozwoli m.in. wyjaśnić strukturę klasycznych modeli teorii pola o statystyce Fermiego-Diraca. Włączenie do zakresu tych rozważań supersymetrii, na gruncie wprowadzonego uprzednio pojęcia supergrupy Liego i jej przestrzeni jednorodnej, pozwoli na dyskusję szerokiej klasy modeli teoriopolowych o statystyce mieszanej w równowadze, a zarazem – po stronie wyżej-kohomologicznej i -geometrycznej – uwypukli rolę kohomologii niezmienniczych oraz kohomologii superalgebr Liego. Plan proseminarium: 1. Dynamika w topologicznie nietrywialnych zewnętrznych polach p-form – potrzeba i konsekwencje konstrukcji wyżej-geometrycznych (wiązki liniowe, wiechcie wiązek etc.) 2. Elementy algebry homologicznej: kompleksy (ko)łańcuchów i ich kohomologie, kohomologia snopowa, dwoistości kohomologiczne, hiperkohomologie w opisie wiązek i wiechci wiązek ze strukturą konektywną. 3. Elementy teorii (wyższych) kategorii. 4. Transgresja kohomologiczna a (pre)kwantowanie geometryczne. Zastosowania charakterów różniczkowych Cheegera-Simonsa. 5. Symetrie sztywne geometrodynamiki w modelach sigma i ich cechowanie poza schematem sprzężenia minimalnego. 6. Kohomologia ekwiwariantna w opisie cechowania symetrii i jej geometryzacje oraz implementacja cechowania poprzez sieci defektów czasoprzestrzennych. Znaczenie struktur algebroidalnych i grupoidalnych stowarzyszonych z działaniem grupy symetrii sztywnych w procedurze cechowania i kwantyfikacji obstrukcji (anomalii cechowania). 7. Odpowiedniość między defektami niskowymiarowych teorii pola i ich dualnościami. Defekty symetryczne i topologiczne. 8. Nie-riemannowska geometria emergentna (T-foldy) – obraz wyżej-geometryczny i implementacja w postaci sieci defektów. 9. Supergeometria różniczkowa w opisie snopowym i funktorialnym (sformułowanie Berezina-Leitesa-Kostanta) oraz w języku wiązek wektorowych (sformułowanie De Witta-Rogers). 10. Superalgebry Liego. Supergrupy w opisie snopowym i w sformułowaniu Kostanta (pary super-Harish-Chandra) oraz ich stycznościowe superalgebry Liego. Supergeometrie z działaniem supergrup, w tym: przestrzenie jednorodne. 11. Kohomologia niezmiennicza i jej interpretacja topologiczna Rabina-Crane'a. Kohomologia (super)algebr Liego (w tym: Cartana-Eilenberga) i naturalne supergeometryzacje jej klas. Związek z wyższymi supergrupami Liego. 12. Elementy teorii algebr Clifforda i wiązek spinorowych (z działaniem wiązek Clifforda), z uwzględnieniem kohomologicznej klasyfikacji obstrukcji wobec ich istnienia (klasy Stieffela-Whitneya). 13. Funktorialne modele dynamik o kowariantnych wiązkach konfiguracyjnych z Z/2Z-gradacją. 14. Super-modele sigma, ich wyższa supergeometria i defekty supersymetryczne. |
Literatura: |
Literatura i inne materiały dydaktyczne oraz notatki wykładowe na stronie internetowej proseminarium: https://www.fuw.edu.pl/~suszek/2021MAiGWwF.html |
Efekty uczenia się: |
Wiedza: Zrozumienie istoty, naturalności i przydatności pojęć i konstrukcji kohomologicznych i wyżej geometrycznych w opisie zjawisk z udziałem ładunku topologicznego. Umiejętności: Rozwiązywanie prostych zadań z użyciem narzędzi wyżej kohomologicznych i wyżej geometrycznych. Postawa: Precyzja myślenia i dążenie do głębszego zrozumienia natury zjawisk z udziałem ładunku topologicznego. |
Metody i kryteria oceniania: |
ciągła ocena aktywności uczestników na podstawie zaangażowania w prezentacje i dyskusje |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)
Okres: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Proseminarium, 45 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Rafał Suszek | |
Prowadzący grup: | (brak danych) | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Zaliczenie na ocenę |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.