Analiza matematyczna I.1 (potok I)

1. Liczby rzeczywiste, kresy zbiorów, aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda). Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne, zasada indukcji zupełnej i przykłady jej zastosowań.

2. Granica ciągu (w tym granice nieskończone), warunek Cauchy'ego, istnienie granic ciągów monotonicznych. Istnienie pierwiastków. Podstawowe granice (w tym liczba e). Twierdzenie Cesaro-Stolza. Podciągi, Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągu ograniczonym.

3. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych i zespolonych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach. Warunek Cauchy'ego dla szeregów. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta, kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dowolnych - zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne - kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Kryteria Abela i Dirichleta. Twierdzenia o

zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Niewymierność liczby e.

4. Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji (warunki Heinego i Cauchy'ego), własność Darboux. Ciągłość funkcji odwrotnej. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Jednostajna ciągłość funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.

5. Funkcje wypukłe, interpretacja geometryczna. Nierówność Jensena i wynikające z niej klasyczne nierówności (Cauchy'ego o średnich, Schwarza). Pochodna i jej interpretacje, styczna do wykresu funkcji. Charakteryzacja wypukłości funkcji w terminach ilorazów różnicowych i pierwszej pochodnej.

Student:

1. Podaje przykłady liczb niewymiernych i zna dowody ich niewymierności. Potrafi wyznaczać kresy podzbiorów ciała liczb rzeczywistych. Posługuje się metodą indukcji zupełnej.

2. Zna pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych i zespolonych, zna jego arytmetyczne własności, a także twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i warunek Cauchy'ego. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności ciągów liczb rzeczywistych danych wzorem jawnym lub rekurencyjnym: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność całego ciągu lub jego podciągów.

3. Potrafi wskazać metodę definiowania funkcji wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych na zbiorze liczb rzeczywistych; zna podstawowe własności tych funkcji.

4. Zna pojęcie sumy szeregu zbieżnego oraz najważniejsze własności szeregów zbieżnych bezwzględnie i warunkowo. Bada zbieżność szeregów, posługując się kilkoma kryteriami zbieżności; potrafi odróżnić zbieżność bezwzględną od warunkowej.

5. Zna pojęcie granicy funkcji zmiennej rzeczywistej i jego równoważne definicje. Potrafi analizować istnienie granicy funkcji elementarnej zmiennej rzeczywistej i obliczyć tę granicę.

6. Zna podstawowe własności funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej, w tym własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów i twierdzenie o jednostajnej ciągłości na przedziałach domkniętych. Potrafi analizować

ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji określonych na różnych przedziałach osi rzeczywistej. Wykorzystuje własności funkcji ciągłych w zadaniach o charakterze jakościowym, m.in. własność Darboux w dowodach istnienia rozwiązań konkretnych równań.

7. Zna pojęcie funkcji wypukłej, nierówność Jensena i najważniejsze przykłady jej zastosowań, w tym do dowodów nierówności.

8. Zna definicję pochodnej oraz geometryczne i fizyczne interpretacje tego pojęcia.