Wstęp do matematyki (potok II)

Zbiór i relacja należenia, zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych. Sposoby definiowania zbiorów, zbiór pusty. Zawieranie zbiorów. Suma i iloczyn (dwuargumentowe), własności. Suma i iloczyn uogólnione. Różnica, dopełnienie zbioru. Prawa de Morgana skończone i nieskończone. Pary uporządkowane, iloczyn kartezjański (skończenie wielu zbiorów). Zbiór potęgowy. Elementy rachunku zdań: spójniki logiczne, formuły, wartościowanie. Tautologie, zastosowanie do dowodów. Kwantyfikatory. Prawa de Morgana, negacja zdań. Związek rachunku zdań i kwantyfikatorów z rachunkiem zbiorów. Funkcja jako zbiór par uporządkowanych. Dziedzina, przeciwdziedzina, wykres. Funkcje różnowartościowe, funkcje na. Permutacje. Składanie funkcji, funkcja odwrotna. Grupy przekształceń. Obrazy i przeciwobrazy. Ciągi skończone i

nieskończone. Indeksowane rodziny zbiorów, ich sumy i iloczyny. Podwójnie indeksowane rodziny zbiorów, ciągi podwójne, macierze skończone i nieskończone. (3--4 wykłady)

Równoliczność zbiorów. Zbiory przeliczalne, co najwyżej przeliczalne, nieprzeliczalne. Dowód istnienia zbiorów nieprzeliczalnych - przykłady rozumowań przekątniowych. Porównywanie mocy zbiorów, twierdzenie Cantora-Bernsteina (dowód). Własności zbiorów przeliczalnych (suma, iloczyn kartezjański zbiorów co najwyżej

przeliczalnych). Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Zbiory mocy continuum, przykłady, własności (suma, iloczyn kartezjański zbiorów mocy continuum). Twierdzenie Cantora. Wzmianka o hipotezie continuum. (3--4 wykłady)

Relacja jako zbiór par uporządkowanych, przykłady relacji dwuargumentowych. Dziedzina, przeciwdziedzina, pole relacji. Relacje odwrotne. Funkcje jako relacje. Własności relacji. Relacja porządku częściowego i liniowego, diagramy relacji porządku, elementy wyróżnione. Izomorfizm zbiorów uporządkowanych, niezmienniki izomorfizmu. Lemat Kuratowskiego-Zorna (bez dowodu), twierdzenie o istnieniu bazy w dowolnej przestrzeni liniowej. (2 wykłady)

Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział, przykłady. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami. (1 wykład)

Liczby naturalne, aksjomaty Peano. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Informacja o definicjach działań i porządku. Różne rodzaje indukcji - definiowanie i dowodzenie, podwójna indukcja. Wzmianka o możliwości konstrukcji zbioru liczb naturalnych. (1 wykład)

Liczby całkowite (np. konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb naturalnych); dodawanie i mnożenie, porządek. Liczby wymierne: konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb całkowitych; dodawanie, mnożenie, dzielenie, porządek. Liczby rzeczywiste: konstrukcja przez przekroje Dedekinda lub ciągi Cauchy'ego nad zbiorem liczb

wymiernych; działania i porządek. (2 wykłady)

Student

1. potrafi używać zapisu symbolicznego (spójniki logiczne, kwantyfikatory);

2. umie operować konstrukcjami na zbiorach (suma, iloczyn, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, indeksowane rodziny zbiorów);

3. rozpoznaje podstawowe własności funkcji, znajduje obraz/przeciwobraz zbioru dla danej funkcji;

4. potrafi badać równoliczność zbiorów, rozpoznaje zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zna własności zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy continuum;

5. rozpoznaje relacje równoważności, wyznacza klasy abstrakcji;

6. rozpoznaje relacje częściowego, liniowego i dobrego porządku, wskazuje elementy wyróżnione;

7. potrafi ustalić istnienie lub nieistnienie izomorfizmu zbiorów uporządkowanych;

8. zna lemat Kuratowskiego-Zorna i niektóre jego zastosowania.