Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do matematyki (potok II)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-111bWMAb
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki (potok II)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Przedmiotem wykladu sa podstawowe pojecia i metody teorii mnogosci (wraz z niezbednymi elementami logilki), stanowiace jezyk matematyki wspolczesnej.

Pełny opis:

Zbiór i relacja należenia, zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych. Sposoby definiowania zbiorów, zbiór pusty. Zawieranie zbiorów. Suma i iloczyn (dwuargumentowe), własności. Suma i iloczyn uogólnione. Różnica, dopełnienie zbioru. Prawa de Morgana skończone i nieskończone. Pary uporządkowane, iloczyn kartezjański (skończenie wielu zbiorów). Zbiór potęgowy. Elementy rachunku zdań: spójniki logiczne, formuły, wartościowanie. Tautologie, zastosowanie do dowodów. Kwantyfikatory. Prawa de Morgana, negacja zdań. Związek rachunku zdań i kwantyfikatorów z rachunkiem zbiorów. Funkcja jako zbiór par uporządkowanych. Dziedzina, przeciwdziedzina, wykres. Funkcje różnowartościowe, funkcje na. Permutacje. Składanie funkcji, funkcja odwrotna. Grupy przekształceń. Obrazy i przeciwobrazy. Ciągi skończone i

nieskończone. Indeksowane rodziny zbiorów, ich sumy i iloczyny. Podwójnie indeksowane rodziny zbiorów, ciągi podwójne, macierze skończone i nieskończone. (3--4 wykłady)

Równoliczność zbiorów. Zbiory przeliczalne, co najwyżej przeliczalne, nieprzeliczalne. Dowód istnienia zbiorów nieprzeliczalnych - przykłady rozumowań przekątniowych. Porównywanie mocy zbiorów, twierdzenie Cantora-Bernsteina (dowód). Własności zbiorów przeliczalnych (suma, iloczyn kartezjański zbiorów co najwyżej

przeliczalnych). Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Zbiory mocy continuum, przykłady, własności (suma, iloczyn kartezjański zbiorów mocy continuum). Twierdzenie Cantora. Wzmianka o hipotezie continuum. (3--4 wykłady)

Relacja jako zbiór par uporządkowanych, przykłady relacji dwuargumentowych. Dziedzina, przeciwdziedzina, pole relacji. Relacje odwrotne. Funkcje jako relacje. Własności relacji. Relacja porządku częściowego i liniowego, diagramy relacji porządku, elementy wyróżnione. Izomorfizm zbiorów uporządkowanych, niezmienniki izomorfizmu. Lemat Kuratowskiego-Zorna (bez dowodu), twierdzenie o istnieniu bazy w dowolnej przestrzeni liniowej. (2 wykłady)

Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział, przykłady. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami. (1 wykład)

Liczby naturalne, aksjomaty Peano. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Informacja o definicjach działań i porządku. Różne rodzaje indukcji - definiowanie i dowodzenie, podwójna indukcja. Wzmianka o możliwości konstrukcji zbioru liczb naturalnych. (1 wykład)

Liczby całkowite (np. konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb naturalnych); dodawanie i mnożenie, porządek. Liczby wymierne: konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb całkowitych; dodawanie, mnożenie, dzielenie, porządek. Liczby rzeczywiste: konstrukcja przez przekroje Dedekinda lub ciągi Cauchy'ego nad zbiorem liczb

wymiernych; działania i porządek. (2 wykłady)

Literatura:

W.Guzicki, P.Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. PWN, Warszawa 2005.

W.Guzicki, P.Zakrzewski, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki. PWN, Warszawa 2005.

H. Rasiowa, Wstęp do matematyki. PWN, Warszawa 2004

K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN, Warszawa 2004

K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości. PWN, Warszawa 1978

Efekty uczenia się:

Student

1. potrafi używać zapisu symbolicznego (spójniki logiczne, kwantyfikatory);

2. umie operować konstrukcjami na zbiorach (suma, iloczyn, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, indeksowane rodziny zbiorów);

3. rozpoznaje podstawowe własności funkcji, znajduje obraz/przeciwobraz zbioru dla danej funkcji;

4. potrafi badać równoliczność zbiorów, rozpoznaje zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zna własności zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy continuum;

5. rozpoznaje relacje równoważności, wyznacza klasy abstrakcji;

6. rozpoznaje relacje częściowego, liniowego i dobrego porządku, wskazuje elementy wyróżnione;

7. potrafi ustalić istnienie lub nieistnienie izomorfizmu zbiorów uporządkowanych;

8. zna lemat Kuratowskiego-Zorna i niektóre jego zastosowania.

Metody i kryteria oceniania:

O ocenie w I terminie decyduje suma punktów uzyskanych z kolokwium (12 pkt.), części zadaniowej egzaminu (12 pkt.) i części testowej egzaminu (12 pkt.). Warunkiem dopuszczenia do I terminu jest uzyskanie 50% punktów z zadań domowych. W II terminie decyduje wyłącznie wynik egzaminu poprawkowego.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.1.2.0-a1f734a9b (2025-06-25)