Algebra dla MSEM II

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Algebra dla MSEM I.

Pierwsza część wykładu i ćwiczeń wprowadza studenta w wybrane aspekty teorii mnogości, na których zbudowany jest dalszy wykład algebry liniowej i abstrakcyjnej. Następnie kontynuowany jest wykład teorii przestrzeni liniowych, obejmujący także przestrzenie afiniczne oraz elementy algebry dwuliniowej – ze szczególnym uwzględnieniem geometrii euklidesowej i towarzyszącej im teorii form kwadratowych. Końcowa część kursu poświęcona jest elementom algebry abstrakcyjnej, a więc teorii grup i pierścieni.

Wstęp do matematyki:

Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami.

Relacja porządku częściowego i liniowego, elementy maksymalne i największe.

Porównywanie mocy zbiorów. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne. Przeliczalność sumy i iloczynu kartezjańskiego zbiorów przeliczalnych. Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora.

Algebra liniowa – kontynuacja:

Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej. Kombinacje afiniczne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Izomorfizmy afiniczne.

Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie.

Iloczyny skalarne. Nierówność Schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy ortogonalne i ortonormalne. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny. Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja macierzy symetrycznych za pomocą macierzy ortogonalnych.

Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych. Objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy.

Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności.

Teoria grup i pierścieni:

Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Grupy permutacji, grupy liniowe, grupy przekształceń. Grupa multiplikatywna i grupa addytywna ciała. Grupa cykliczna, rząd elementu. Rzędy elementów grupy permutacji, rozkład permutacji na cykle.

Warstwy grupy względem podgrupy, indeks podgrupy. Twierdzenie Lagrange’a i zastosowania: każda grupa rzędu pierwszego jest cykliczna. Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera. Homomorfizmy grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa. Twierdzenie o homomorfizmie.

Działanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Cayleya. Orbita działania, stabilizator elementu (moc orbity = indeks stabilizatora).

Pierścienie przemienne z jedynką. Homomorfizmy. Jednoznaczność rozkładu na czynniki (pierścienie euklidesowe, dziedziny ideałów głównych, dziedziny z jednoznacznym rozkładem). Ideał, pierścień ilorazowy. Twierdzenie o homomorfizmie.

Literatura

W. Guzicki, P. Zakrzewski, "Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości", Wydawnictwo Naukowe PWN,

W. Guzicki, P. Zakrzewski, "Wstęp do matematyki. Zbiór zadań", Wydawnictwo Naukowe PWN,

K. Kuratowski, "Wstęp do teorii mnogości i topologii", PWN,

H. Rasiowa, "Wstęp do matematyki współczesnej", PWN,

T. Koźniewski, "Wykłady z algebry liniowej I", Uniwersytet Warszawski,

A. Białynicki-Birula, "Algebra liniowa z geometrią", PWN.

Student zna i umie stosować podstawowe pojęcia teorii mnogości w kontekście algebraicznym. Zna podstawy teorii przestrzeni euklidesowych liniowych i afinicznych. Znajduje bazy ortogonalne w przestrzeniach dwuliniowych (w szczególności euklidesowych). W razie potrzeby umie stosować podstawowe pojęcia teorii grup i pierścieni w innych działach matematyki.

Na podstawie punktów uzyskiwanych w czasie semestru oraz egzaminu.