University of Warsaw - Central Authentication System
Strona główna

Mathematical analysis I.2*

General data

Course ID: 1000-112bAM2*
Erasmus code / ISCED: 11.101 The subject classification code consists of three to five digits, where the first three represent the classification of the discipline according to the Discipline code list applicable to the Socrates/Erasmus program, the fourth (usually 0) - possible further specification of discipline information, the fifth - the degree of subject determined based on the year of study for which the subject is intended. / (0541) Mathematics The ISCED (International Standard Classification of Education) code has been designed by UNESCO.
Course title: Mathematical analysis I.2*
Name in Polish: Analiza matematyczna I.2*
Organizational unit: Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups: Obligatory courses for 1st grade JSEM
Obligatory courses for 1st grade JSIM
Obligatory courses for 1st grade Mathematics
ECTS credit allocation (and other scores): 10.00 OR 9.00 (differs over time) Basic information on ECTS credits allocation principles:
  • the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS;
  • the student’s weekly hourly workload is 45 h;
  • 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes;
  • weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS;
  • work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load.

view allocation of credits
Language: Polish
Main fields of studies for MISMaP:

mathematics
physics

Type of course:

obligatory courses

Prerequisites (description):

(in Polish) Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Analiza matematyczna I.1.

Full description: (in Polish)

Program taki jak w potokach I i II, ale przedstawiony w sposób bardziej pogłębiony.

Technika różniczkowania (pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu), pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego). Kryteria monotoniczności funkcji różniczkowalnych. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne. Pochodne drugiego i wyższych rzędów, wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange'a i Cauchy'ego. Wielomiany Taylora funkcji wykładniczej, logarytmu, sinusa, kosinusa, arkusa sinusa i arkusa tangensa. Punkty przegięcia. Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego lub punktu przegięcia. Funkcje klasy C^k. (7-9 wykładów)

Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). (5-6 wykładów).

Szereg potęgowy, promień zbieżności i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych. (3-4 wykłady).

Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) i całka oznaczona funkcji ciągłej. Całkowanie przez podstawienie i przez części. Reszta całkowa we wzorze Taylora. Całkowanie funkcji wymiernych (ułamki proste). Sumy Riemanna, aproksymacja całki z funkcji ciągłej sumami Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna funkcji ciągłej. Interpretacja geometryczna. Długość wykresu funkcji jako kres górny długości łamanych wpisanych w ten wykres, wzór całkowy na długość wykresu funkcji klasy C^1. Całki z parametrem i rózniczkowanie całek z parametrem. Gamma-funkcja Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego, np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych, niewymierność liczby e. (9-11 wykładów wykładów).

Uwaga: układ materiału podczas semestru może podlegać drobnym modyfikacjom.

Bibliography: (in Polish)

A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977

B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (tom I) i 1993 (tomy II i III).

G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom. II i III, PWN, Warszawa 1999.

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

W. Pusz, K. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

Learning outcomes: (in Polish)

0. Potrafi uzasadnić poprawność swoich rozumowań. Operuje przykładami.

1. Zna metody obliczania pochodnych i najważniejsze twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, w tym twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora i regułę de l'Hospitala. Stosuje typowe narzędzia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, m.in. wyznacza ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności i wypukłości oraz kresy funkcji zmiennej rzeczywistej, a także rozwiązuje zadania optymalizacyjne. Posługuje się wzorem Taylora do obliczania granic.

2. Zna pojęcie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągu i szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie o ciągłości granicy zbieżnego jednostajnie ciągu / szeregu funkcji ciągłych i twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych. Potrafi badać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych i dowodzić ciągłości lub różniczkowalności granic takich ciągów.

3. Zna pojęcie szeregu potęgowego i najważniejsze własności funkcyjne sumy takiego szeregu. Zna wzór Cauchy'ego-Hadamarda. Określa promień zbieżności szeregu potęgowego; potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych do sumowania konkretnych szeregów.

4. Zna pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej; potrafi całkować przez części i przez podstawienie; orientuje się, jakie klasy funkcji są całkowalne w kwadraturach takimi metodami.

5. Zna pojęcie całki oznaczonej, definicję całki Riemanna i jej interpretację geometryczną. Zna związek całki oznaczonej z nieoznaczoną. Stosuje narzędzia rachunku całkowego w zadaniach o charakterze geometrycznym. Oblicza pole pod wykresem, długość krzywej, objętości i pola powierzchni brył obrotowych.

6. Zna pojęcie całki niewłaściwej oraz przykłady funkcji, zdefiniowanych za pomocą takich całek. Wykorzystując różne metody, bada zbieżność całek niewłaściwych.

Assessment methods and assessment criteria: (in Polish)

ocena na podstawie kolokwiów, pracy na ćwiczeniach i egzaminu.

Classes in period "Summer semester 2024/25" (past)

Time span: 2025-02-17 - 2025-06-08
Selected timetable range:
Go to timetable
Type of class:
Classes, 60 hours more information
Lecture, 60 hours more information
Coordinators: Michał Jóźwikowski
Group instructors: Michał Jóźwikowski, Mikołaj Rotkiewicz
Students list: (inaccessible to you)
Credit: Course - Examination
Lecture - Examination
Short description: (in Polish)

Poza standardowym zakresem materiału na kursie gwiazdkowym zamierzamy omówić kilka zagadnień ponadprogramowych. Między innymi funkcje o wahaniu skończonym i szeregi Fouriera.

Classes in period "Summer semester 2025/26" (future)

Time span: 2026-02-16 - 2026-06-07

Selected timetable range:
Go to timetable
Type of class:
Classes, 60 hours more information
Lecture, 60 hours more information
Coordinators: Michał Jóźwikowski
Group instructors: Maciej Borodzik, Michał Jóźwikowski, Mikołaj Rotkiewicz
Students list: (inaccessible to you)
Credit: Course - Examination
Lecture - Examination
Short description: (in Polish)

Poza standardowym zakresem materiału na kursie gwiazdkowym zamierzamy omówić kilka zagadnień ponadprogramowych. Między innymi funkcje o wahaniu skończonym i szeregi Fouriera.

Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
contact accessibility statement site map USOSweb 7.1.2.0-a1f734a9b (2025-06-25)