Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Topologia I (potok 1)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bTP1a
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Topologia I (potok 1)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla II roku JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 7.50 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Wykład omawia podstawowe pojęcia topologii: przestrzenie metryczne i topologiczne, przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy, iloczyny kartezjańskie, zupełne przestrzenie metryczne, zwartość, spójność i łukową spójność, homotopię przekształceń i pętli, ściągalność, konstrukcję przestrzeni ilorazowej.

Pełny opis:

1. Przestrzenie metryczne. Topologia w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie topologiczne. Baza topologii. Wnętrze, domknięcie, brzeg podzbioru przestrzeni topologicznej. Własność Hausdorffa. Przekształcenia ciągłe, równoważne charakteryzacje ciągłości. Homeomorfizmy. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu przekształceń (dla przestrzeni metryzowalnych). Iloczyny kartezjańskie i sumy proste przestrzeni topologicznych. Ośrodkowość.

2. Przestrzenie zwarte. Liczba Lebesgue’a pokrycia. Warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów. Jednostajna ciągłość. Zbiór Cantora. Twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych (dowód dla iloczynu skończonego).

3. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności.

4. Konstrukcja przestrzeni ilorazowej. Przyklejanie za pomocą przekształcenia. Przykłady otrzymywania powierzchni przez sklejenia wielokąta.

5. Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni funkcji ciągłych. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Twierdzenie Baire'a. Metryki całkowicie ograniczone - zwartość a zupełność. Twierdzenie Ascoliego-Arzeli.

6. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Grupa podstawowa. Dowód nieściągalności okręgu. Zastosowania: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, Twierdzenie Brouwera w wymiarze 2, dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry.

Literatura:

1. S. Betley, J. Chaber, E. Pol, R. Pol, Topologia I, Skrypt MIMUW, Warszawa 2017.

2. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986.

3. K. Janich, Topologia, PWN, Warszawa 1991.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 2004.

5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego,

Katowice 1994

Efekty uczenia się:

1. Posiada umiejętność wprowadzania topologii w zbiorze przy pomocy zadania metryki, lub rodzin podzbiorów spełniających określone warunki. Umie znajdować domknięcia i wnętrza podzbiorów przestrzeni topologicznych i metrycznych.

2. Umie stosować różne kryteria ciągłości do zbadania, czy zadane przekształcenie jest ciągłe i czy jest homeomorfizmem.

3. Zna sposoby definiowania przestrzeni topologicznych przy pomocy konstrukcji podprzestrzeni, iloczynu kartezjańskiego, przestrzeni ilorazowej i sumy prostej. Rozpoznaje te konstrukcje w przykładach geometrycznych.

4. Potrafi rozpoznać własności zwartości, spójności i łukowej spójności przestrzeni topologicznej i metrycznej. Umie wykorzystać te własności do rozstrzygania czy przestrzenie są homeomorficzne.

5. Zna podstawowe przykłady przestrzeni zwartych, w tym zbiór Cantora i twierdzenia dotyczące zwartości, w tym twierdzenie Tichonowa i twierdzenie Weierstrassa.

6. Potrafi rozstrzygnąć o zupełności przestrzeni metrycznej i zna pojęcie metryzowalności w sposób zupełny. Zna twierdzenie Banacha i twierdzenie Baire’a. Umie konstruować obiekty o specjalnych własnościach przy pomocy Twierdzenie Baire’a.

7. Potrafi rozpoznać kiedy dwa przekształcenia są homotopijne. Odróżnia przestrzenie ściągalne od nieściągalnych. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania.

Metody i kryteria oceniania:

Przedmiot kończy się egzaminem

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (zakończony)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Mikołaj Krupski
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Agnieszka Bojanowska-Jackowska, Mikołaj Krupski, Andrzej Nagórko, Sławomir Nowak, Mirosław Sobolewski, Paweł Traczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2022/23" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-10-01 - 2023-01-29

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Betley
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Wojciech Politarczyk, Karol Szumiło, Paweł Traczyk, Magdalena Zielenkiewicz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.0.0-0cee12404 (2022-08-03)