Rachunek prawdopodobieństwa I (potok *)

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Analiza matematyczna II.1.

Aksjomatyka Kołmogorowa, podstawowe schematy probabilistczne.

Zmienne losowe, ich rozkłady, parametry rozkładów. Niezależność.

Zbieżność ciągów zmiennych losowych. Podstawowe twierdzenia graniczne: twierdzenie Poissona, słabe i mocne prawo wielkich liczb, twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.

Aksjomatyka Kołmogorowa. Własności prawdopodobieństwa jako miary. Lemat Borela-Cantellego. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór Bayesa.

Podstawowe schematy probabilistyczne: prawdopodobieństwo "klasyczne", dyskretne, geometryczne.

Zmienne losowe (jedno- i wielowymiarowe) i ich rozkłady, dystrybuanta, rozkłady skokowe, rozkłady ciągłe, gęstości rozkładów. Parametry rozkładów: wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja. Nierówność Czebyszewa.

Niezależność zdarzeń, sigma-ciał, zmiennych losowych. Schemat Bernoulliego. Twierdzenie Poissona. Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych.

Zbieżność ciągów zmiennych losowych. Słabe prawo wielkich liczb. Mocne prawo wielkich liczb. Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.

Program wykładu w zasadzie nie różni się od programu wykładu podstawowego, natomiast jego treści będą realizowane w sposób pogłębiony i często bardziej ogólny.

Wykład jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych głębszym poznaniem przedmiotu i lubiących myśleć o związanych z nim zadaniach i problemach.

Student

1. Zna definicję przestrzeni probabilistycznej i podstawowe własności prawdopodobieństwa.

2. Zna podstawowe schematy probabilistyczne: prawdopodobieństwo "klasyczne", dyskretne, geometryczne. Potrafi operować przykładami.

3. Zna lemat Borela-Cantellego.

4. Zna wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.

5. Zna pojęcie zmiennej losowej i jej rozkładu. Potrafi podać najważniejsze rozkłady dyskretne i ciągłe. Zna pojęcie dystrybuanty oraz jej własności. Potrafi znajdować rozkłady zmiennych losowych będących funkcjami innych zmiennych losowych o znanych rozkładach.

6. Zna pojęcia wartości oczekiwanej, wariancji i kowariancji oraz potrafi obliczać te wielkości. Zna nierówność Czebyszewa.

7. Zna pojęcia niezależności zdarzeń i sigma-ciał oraz niezależności zmiennych losowych. Umie znaleźć rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych. Zna schemat Bernoulliego i twierdzenie Poissona.

8. Potrafi rozstrzygać o zbieżności ciągów zmiennych losowych. Zna relacje między różnymi rodzajami zbieżności (prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, w L^p) i potrafi je zilustrować przykładami.

9. Zna słabe i mocne prawo wielkich liczb.

10. Zna Centralne Twierdzenie Graniczne w postaci de Moivre'a-Laplace'a.

Przedmiot kończy się egzaminem.