Równania różniczkowe zwyczajne z laboratorium

Równanie różniczkowe i jego rozwiązania, równania pierwszego i wyższych rzędów, układy rzędu l, sprowadzanie równań wyższych rzędów do układu rzędu l, pole kierunków, proste typy równań dających rozwiązywać się analitycznie.

Proste schematy numeryczne: jedno i wielo krokowe, otwarte i zamknięte. Metody typu Taylora, tryb prognoza-poprawka, obliczanie rzędu. Metody typu Runge'go-Kutty otwarte i zamknięte, związek rzędu i liczby stopni.

Lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności; przedłużanie rozwiązań. Zależność rozwiązania od parametru i warunku początkowego, różniczkowalność względem parametru. Twierdzenie o prostowaniu.

Układy równań liniowych, przestrzeń rozwiązań i baza. Macierz fundamentalna, Wrońskian, twierdzenie Liouville'a; układy o stałych współczynnikach. Macierz wykładnicza, układy niejednorodne. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.

Równanie różnicowe i jego rozwiązanie, równanie różnicowe liniowe o stałych współczynnikach jednorodne i niejednorodne. Pojęcie zbieżności, teoria zbieżności schematów jednokrokowych. Zgodność schematu. Twierdzenie o zbieżności. Schematy wielokrokowe; pojęcie stabilności i silnej stabilności.

Stabilność rozwiązań w sensie Lapunowa, funkcja Lapunowa. Jakościowa analiza rozwiązań: klasyfikacja krzywych fazowych układu autonomicznego, punkty osobliwe układu liniowego na płaszczyźnie. Klasyfikacja i punkty osobliwe układów nieliniowych, całka pierwsza.

Stabilność absolutna, obszar stabilności absolutnej. Pojęcie sztywności, przykład układu sztywnego, współczynnik sztywności.

Praca z komputerem: pakiet do obliczeń symbolicznych i numerycznych (w ramach ćwiczeń). W trakcie wykładu będą przedstawiane przykłady zastosowań omawianej teorii.

Wiedza i umiejętności:

1. Wie co to jest równanie różniczkowe, zagadnienie początkowe i co to jest rozwiązanie zagadnienia początkowego, umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego;
2. Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernouliego;
3. Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym;
4. Umie podać przykład zagadnienia początkowego, które posiada nieskończenie wiele rozwiązań;
5. Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek;
6. Umie rozwiązać liniowe równanie różniczkowe zwyczajne i układ liniowych równań różniczkowych zwyczajnych;
7. Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego;
8. Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych;
9. Wie co to jest pole wektorowe;
10. Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunova;
11. Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego;
12. Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy;
13. Umie posługiwać się pakietami do obliczeń symbolicznych i numerycznych przy znajdowaniu analitycznych lub numerycznych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody.