Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego | USOSownia - uniwersyteckie forum USOSoweNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Funkcje analityczne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-134FAN Kod Erasmus / ISCED: 11.132 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Funkcje analityczne
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla III roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla III roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Podstawy teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej (piękny dział analizy, z licznymi zastosowaniami w całej matematyce).

Pełny opis:

Przypomnienie i rozszerzenie wiadomości z I roku. Moduł, argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej. Potęga o wykładniku całkowitym i pierwiastek liczby zespolonej. Wzór de Moivre'a. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. (1 wykład)

Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego--Riemanna. Odwzorowania konforemne. (1 wykład)

Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Twierdzenie Abela o ciągłości na brzegu koła zbieżności. Różniczkowanie wyraz po wyrazie. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, logarytm, potęga zespolona, gałęzie. (2 wykłady)

Funkcje wymierne i grupa homografii. (1 wykład)

Całka funkcji wzdłuż drogi. Niezależność całki od drogi całkowania a istnienie funkcji pierwotnej. Twierdzenie Cauchy'ego. Wzór całkowy Cauchy'ego. Rozwijalność funkcji holomorficznych w szereg potęgowy. (1 wykład)

Zera funkcji holomorficznych, zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Nierówność Cauchy'ego. Twierdzenie Liouville'a. Zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie Morery. Zasada symetrii Schwarza. (1 wykład)

Całki po krzywych homotopijnych. Twierdzenie Cauchy'ego. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze ednospójnym. Gałąź logarytmu. Całki krzywoliniowe. Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami

holomorficznymi. Istnienie funkcji harmonicznej sprzężonej w obszarze jednospójnym. (1-2 wykłady)

Rozwijanie funkcji holomorficznej w szereg Laurenta. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie Casoratiego--Weierstrassa. Funkcje

meromorficzne. (1 wykład)

Twierdzenie o residuach i jego zastosowania. (1 wykład)

Indeks punktu względem krzywej. Zasada argumentu. Twierdzenie Rouche'go. Twierdzenie Hurwitza. (1 wykład)

Twierdzenie o krotnościach i o odwzorowaniu otwartym. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. Twierdzenie Riemanna (bez dowodu). (1 wykład)

Jeśli czas na to pozwoli, na wykładzie mogą się pojawić tematy z poniższej listy:

Model Poincar\'ego geometrii Łobaczewskiego. Globalne twierdzenie Cauchy'ego dla całek po cyklach. Residuum w nieskończoności. Automorfizmy koła jednostkowego i sfery Riemanna. Twierdzenie Rungego dla obszarów jednospójnych. Twierdzenie Montela dla rodzin ograniczonych. Dowód twierdzenia Riemanna. Charakteryzacja obszarów jednospójnych przez różne ich własności (np. spójność uzupełnienia). Funkcja modularna i małe twierdzenie Picarda. Zagadnienie Dirichleta. Funkcja \zeta Riemanna.

Literatura:

J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej. PWN, Warszawa 2000.

J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych. PWN, Warszawa 1965.

F. Leja, Funkcje zespolone. PWN, Warszawa 1979.

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona. PWN, Warszawa 1998.

S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne. Monografie Matematyczne Vol. 28, PWN, Warszawa 1952 (w postaci plików pdf: http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10)

B.W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej. PWN, Warszawa 1974.

Efekty kształcenia:

W zakresie wiedzy i umiejętności:

1. Zna podstawowe własności liczb zespolonych, w tym zwiazki z elementarną geometrią płaszczyzny; umie je wykorzystać. Zna pojęcie ,,sfery Riemanna'' jako jednopunktowego uzwarcenia płaszczyzny zespolnej i jego związek z rzutem stereograficznym. Umie badać homografie, traktując je jako przekształcenia sfery.

2. Zna pojęcie pochodnej zespolonej i jego związek z istnieniem pochodnej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych. Zna równania Cauchy - Riemanna i umie je wykorzystać do znalezienia funkcji holomorficznej o zadanej części rzeczywistej, gdy taka istnieje.

3. Zna własności podstawowych funkcji elementarnych. Umie je wykorzystać, by biholomorficznie przeprowadzić na koło pewne obszary jednospójne, w tym półpłaszczyznę, wycinek koła, pas, soczewkę. Zna geometryczne konsekwencje biholomorficzności i sformułowanie twierdzenia Riemanna.

4. Zna pojęcie gałęzi logarytmu i potęgi zespolonej danej funkcji holomorficznej; umie badać ich złożenia z innymi funkcjami, różniczkować je i rozwijać w szereg Taylora.

5. Zna pojęcie funkcji meromorficznej. Umie wyznaczyć zadane współczynniki rozwinięcia Laurenta funkcji, otrzymanych w wyniku mnożenia/ składania funkcji meromorficznych, których rozwinięcia są znane. Umie też rozpoznać w takiej sytuacji rodzaj osobliwości otrzymanej funkcji i jej rząd.

6. Zna pojęcie całki funkcji wzdłuż drogi i twierdzenie Cauchy'ego o całkach funkcji holomorficznych wzdłuż dróg homotopijnych; umie wykorzystać to twierdzenie.

7. Zna twierdzenie o residuach Cauchy'ego i jego wzór całkowy; zna wykorzystywane w nich pojęcie indeksu. Umie zastosować twierdzenie o residuach do wyznaczania wartości całek, w tym całek funkcji okresowych i całek niewłaściwych.

8. Zna twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych, nierówności Cauchy'ego, twierdzenie Liouvilla, zasadę maksimum dla funkcji holomorficznych i harmonicznych, związki niektórych z tych wyników z zasadniczym twierdzeniem algebry.

9. Zna zasadę argumentu i twierdzenie Rouch\'ego i umie je wykorzystać do lokalizowania zer czy biegunów funkcji meromorficznych.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie metod analizy zespolonej dla badania funkcji rzeczywistych, a także znaczenie pojęć topologicznych (indeksu pętli, jednospójnosci, homotopii dróg) dla uzyskiwania wynikow analitycznych o charakterze ilościowym.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Jerzy Konarski
Prowadzący grup: Galina Filipuk, Tomasz Kochanek, Jerzy Konarski, Andrzej Weber
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Krzysztof Oleszkiewicz
Prowadzący grup: Marcin Bobieński, Galina Filipuk, Michał Kotowski, Piotr Mormul, Krzysztof Oleszkiewicz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.