Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Funkcje analityczne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-134FAN
Kod Erasmus / ISCED: 11.132 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Funkcje analityczne
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla III roku JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla III roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla III roku matematyki specjalności MSEM
Przedmioty obowiązkowe dla IV roku JSIM - wariant 3I+4M
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (opisowo):

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotów Analiza matematyczna II.1 oraz Analiza matematyczna II2.

Skrócony opis:

Podstawowe pojęcia analizy zespolonej, ilustracja jej związków z topologią, algebrą i geometrią, w tym: pochodna w dziedzinie zespolonej i konsekwencje różniczkowalności w sensie zespolonym. Równania Cauchy’ego-Riemanna. Wzór całkowy Cauchy’ego, analityczność funkcji holomorficznych. Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania. Twierdzenie Riemanna.

Pełny opis:

1. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Odwzorowania konforemne.

2. Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Twierdzenie Abela o ciągłości na brzegu koła zbieżności. Różniczkowanie wyraz po wyrazie. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej.

3. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. Funkcje wymierne i grupa homografii.

4. Całka funkcji wzdłuż drogi. Twierdzenie Cauchy'ego i jego podstawowe konsekwencje: wzór całkowy Cauchy'ego, nierówności Cauchy'ego, analityczność funkcji holomorficznych.

5. Zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Twierdzenie Liouville'a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Twierdzenie Morery.

6. Całki po krzywych homotopijnych. Twierdzenie Cauchy'ego. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze jednospójnym. Gałąź logarytmu. Całki krzywoliniowe. Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi. Istnienie funkcji harmonicznej sprzężonej w obszarze jednospójnym.

7. Rozwijanie funkcji holomorficznej w pierścieniu w szereg Laurenta. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Funkcje meromorficzne.

8. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania do obliczania całek w dziedzinie rzeczywistej.

9. Indeks punktu względem krzywej. Zasada argumentu. Twierdzenie Rouchégo. Twierdzenie Hurwitza.

10. Twierdzenie o krotnościach i o odwzorowaniu otwartym. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. Twierdzenie Riemanna (bez dowodu).

Literatura:

1. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2010.

2. A. Ganczar, Analiza zespolona w zadaniach, PWN, Warszawa 2010.

3. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 2005.

4. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 2006.

5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

6. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, tom 28, PWN, Warszawa 1952.

(w postaci plików pdf: http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10)

7. B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974

Efekty uczenia się:

1. Zna interpretacje przekształceń homograficznych jako przekształceń sfery Riemanna i potrafi znajdować przekształcenia biholomorficzne koła na pewne standardowe obszary.

2. Zna podstawowe zastosowania twierdzenia Cauchy’ego.

3. Potrafi obliczać całki oznaczone (także niewłaściwe) funkcji rzeczywistych, stosując twierdzenie o residuach.

4. Umie posługiwać się rozwinięciem Laurenta, zna związaną z nim charakteryzację osobliwości i zna pojecie funkcji meromorficznej.

5. Zna i potrafi zastosować twierdzenia Rouchégo i zasadę argumentu.

6. Rozumie znaczenie metod analizy zespolonej dla podstawowych działów matematyki, a także znaczenie pojęć topologicznych (indeksu pętli, jednospójności, homotopii dróg) dla uzyskiwania wyników analitycznych o charakterze ilościowym.

Metody i kryteria oceniania:

na podstawie punktów uzyskiwanych przez studenta w czasie semestru

oraz wyniku egzaminu

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)

Okres: 2023-10-01 - 2024-01-28
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Wojciech Politarczyk
Prowadzący grup: Tomasz Kochanek, Przemysław Ohrysko, Krzysztof Oleszkiewicz, Wojciech Politarczyk, Feliks Rączka, Henryk Żołądek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.2.0-80474ed05 (2024-03-12)