Funkcje analityczne (potok*)
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-134FAN* | Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
![]() ![]() |
Nazwa przedmiotu: | Funkcje analityczne (potok*) | ||
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki | ||
Grupy: |
Przedmioty obowiązkowe dla III roku JSIM - wariant 3M+4I Przedmioty obowiązkowe dla IV roku JSIM - wariant 3I+4M |
||
Punkty ECTS i inne: |
6.00 ![]() ![]() |
||
Język prowadzenia: | (brak danych) | ||
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
||
Skrócony opis: |
Podstawowe pojęcia analizy zespolonej, ilustracja jej związków z topologią, algebrą i geometrią, w tym: pochodna w dziedzinie zespolonej i konsekwencje różniczkowalności w sensie zespolonym. Równania Cauchy’ego-Riemanna. Wzór całkowy Cauchy’ego, analityczność funkcji holomorficznych. Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania. Twierdzenie Riemanna. |
||
Pełny opis: |
1. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Odwzorowania konforemne. 2. Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Twierdzenie Abela o ciągłości na brzegu koła zbieżności. Różniczkowanie wyraz po wyrazie. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej. 3. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. Funkcje wymierne i grupa homografii. 4. Całka funkcji wzdłuż drogi. Twierdzenie Cauchy'ego i jego podstawowe konsekwencje: wzór całkowy Cauchy'ego, nierówności Cauchy'ego, analityczność funkcji holomorficznych. 5. Zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Twierdzenie Liouville'a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Twierdzenie Morery. 6. Całki po krzywych homotopijnych. Twierdzenie Cauchy'ego. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze jednospójnym. Gałąź logarytmu. Całki krzywoliniowe. Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi. Istnienie funkcji harmonicznej sprzężonej w obszarze jednospójnym. 7. Rozwijanie funkcji holomorficznej w pierścieniu w szereg Laurenta. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Funkcje meromorficzne. 8. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania do obliczania całek w dziedzinie rzeczywistej. 9. Indeks punktu względem krzywej. Zasada argumentu. Twierdzenie Rouchégo. Twierdzenie Hurwitza. 10. Twierdzenie o krotnościach i o odwzorowaniu otwartym. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. Twierdzenie Riemanna (bez dowodu). |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (zakończony)
Okres: | 2021-10-01 - 2022-02-20 |
![]() |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin ![]() Wykład, 30 godzin ![]() |
|
Koordynatorzy: | Waldemar Pałuba | |
Prowadzący grup: | Piotr Nayar, Waldemar Pałuba | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2022/23" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2022-10-01 - 2023-01-29 |
![]() |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin ![]() Wykład, 30 godzin ![]() |
|
Koordynatorzy: | Waldemar Pałuba | |
Prowadzący grup: | Piotr Nayar, Waldemar Pałuba | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.