Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza funkcjonalna*

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135AF* Kod Erasmus / ISCED: 11.153 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza funkcjonalna*
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami, twierdzeniami i metodami liniowej analizy funkcjonalnej.

Pełny opis:

Program wykładu w zasadzie nie różni się od programu wykładu podstawowego, natomiast jego treści będą realizowane w sposób pogłębiony i często bardziej ogólny. Wykład jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych głębszym poznaniem przedmiotu i lubiących myśleć o związanych z nim zadaniach i problemach.

1. Definicja przestrzeni Banacha, przestrzenie ciągowe, przestrzenie C(K), przestrzenie funkcji całkowalnych z p-tą potęgą - zupełność, przypomnienie nierówności Hoeldera i Minkowskiego. Pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. Przykłady. (2-3 wykłady)

2. Przestrzeń Hilberta, układy i bazy ortonormalne, twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki. Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. (2-3 wykłady)

3. Operatory liniowe, norma operatora. Przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformata Fouriera i twierdzenie Plancherela. (1-3 wykłady)

4. Operatory sprzężone na przestrzeni Hilberta. Operatory unitarne. Diagonalizacja operatora zwartego i samosprzężonego. (2-3 wykłady)

5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu. (2-3 wykłady)

6. Ponadto, mogą zostać omówione następujące tematy: Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzenie sprzężone do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. Operatory sprzężone na przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.

Efekty uczenia się:

Student

1. Zna definicję i własności przestrzeni Banacha oraz podstawowe przykłady przestrzeni Banacha (przestrzenie

ciągowe, L_p, C(K)).

2. Zna definicję i własności przestrzeni Hilberta, układu i bazy ortonormalnej, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, podstawowe przykłady baz ortonormalnych ,postać

funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta.

3. Zna definicje i własności operatorów liniowych, normy operatora, przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformatę Fouriera i twierdzenie Plancherela.

4. Zna definicje i własności operatorów sprzężonych na przestrzeni Hilberta, operatorów unitarnych, Twierdzenie o diagonalizacji operatora zwartego i samosprzężonego.

5. Zna twierdzenia Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.

6. Zna definicję i własności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Banacha (w szczególności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni C(K) i L_p) pojęcie przestrzeni

refleksywnej, operatora sprzężonego na przestrzeniach.

Banacha, twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.

8. Zna definicję i podstawowe własności operatorów zwartych. Umie sprawdzić czy pewne proste operatory liniowe są zwarte.

Metody i kryteria oceniania:

Ocena z przedmiotu będzie zależała od wyników pracy na ćwiczeniach, wyników kolokwiów w trakcie semestru, wyniku egzaminu pisemnego i ustnego. Szczegółowe zasady oceny są podane w informacjach dotyczących odpowiedniego cyklu dydaktycznego.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Adam Toruńczyk
Prowadzący grup: Adam Toruńczyk
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~torunczy/AF/
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza matematyczna II.1 (potok 1) 1000-113bAM3a
Analiza matematyczna II.2 (potok 1) 1000-114bAM4a
Geometria z algebrą liniową I (potok I) 1000-111bGA1a
Geometria z algebrą liniową II (potok I) 1000-112bGA2a
Topologia I (potok 1) 1000-113bTP1a

Tryb prowadzenia:

zdalnie

Literatura:

N. Dunford, J. Schwartz, Linear Operators, 1,2,3 (istnieje też przekład ros.)

Y. Eidelman, V. Milman A. Tsolomitis, Functional Analysis. An introduction

A. Kirillov, A. Gvishiani, Theorems and Problems in Functional Analysis (istnieje też oryginał rosyjski)

V. Komornik, Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral

J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej

W. Rudin, Analiza funkcjonalna

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona

Uwagi:

Zakładany jest systematyczny wkład pracy własnej uczestników zajęć. Przewiduję następujący podział możliwych do uzyskania 100p.: za zadania domowe do 40p., zaś za egzamin (łączony: pisemny i ustny) do 60p.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Kochanek
Prowadzący grup: Tomasz Kochanek
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~torunczy/AF/
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza matematyczna II.1 (potok 1) 1000-113bAM3a
Analiza matematyczna II.2 (potok 1) 1000-114bAM4a
Geometria z algebrą liniową I (potok I) 1000-111bGA1a
Geometria z algebrą liniową II (potok I) 1000-112bGA2a
Topologia I (potok 1) 1000-113bTP1a

Tryb prowadzenia:

zdalnie

Literatura:

N. Dunford, J. Schwartz, Linear Operators, 1,2,3 (istnieje też przekład ros.)

Y. Eidelman, V. Milman A. Tsolomitis, Functional Analysis. An introduction

A. Kirillov, A. Gvishiani, Theorems and Problems in Functional Analysis (istnieje też oryginał rosyjski)

V. Komornik, Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral

J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej

W. Rudin, Analiza funkcjonalna

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona

Uwagi:

Zakładany jest systematyczny wkład pracy własnej uczestników zajęć. Przewiduję następujący podział możliwych do uzyskania 100p.: za zadania domowe do 40p., zaś za egzamin (łączony: pisemny i ustny) do 60p.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.