Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego | USOSownia - uniwersyteckie forum USOSoweNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza funkcjonalna I

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135AF1 Kod Erasmus / ISCED: 11.153 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza funkcjonalna I
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:
Punkty ECTS i inne: (brak)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami, twierdzeniami i metodami liniowej analizy funkcjonalnej.

Pełny opis:

1. Definicja przestrzeni Banacha, przestrzenie ciągowe, przestrzenie C(K), przestrzenie funkcji całkowalnych z p-tą potęgą - zupełność, przypomnienie nierówności Hoeldera i Minkowskiego. Pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. Przykłady. (2-3 wykłady)

2. Przestrzeń Hilberta, układy i bazy ortonormalne, twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki. Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. (2-3 wykłady)

3. Operatory liniowe, norma operatora. Przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformata Fouriera i twierdzenie Plancherela. (1-3 wykłady)

4. Operatory sprzężone na przestrzeni Hilberta. Operatory unitarne. Diagonalizacja operatora zwartego i samosprzężonego. (2-3 wykłady)

5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu. (2-3 wykłady)

6. Ponadto, mogą zostać omówione następujące tematy: Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzenie sprzężone do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. Operatory sprzężone na przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.

Literatura:

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986.

J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982 (wyd. 2).

Efekty kształcenia:

Wiedza i umiejętności:

1. Zna definicję i własności przestrzeni Banacha, przestrzeni

ciągowych, przestrzeni C(K), przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą

potęgą, nierówności Hoeldera i Minkowskiego, pojęcie funkcjonału

liniowego i jego normy.

2. Zna definicję i własności przestrzeni Hilberta, układu i bazy

ortonormalnej, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, przykłady baz

ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki, postać

funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta.

3. Zna definicje i własności operatorów liniowych, normy operatora,

przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i

twierdzenie Radona-Nikodyma, transformatę Fouriera i twierdzenie

Plancherela.

4. Zna definicje i własności operatorów sprzężonych na przestrzeni

Hilberta, operatorów unitarnych, Twierdzenie o diagonalizacji

operatora zwartego i samosprzężonego.

5. Zna twierdzenia Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.

6. Zna definicję i własności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni

Banacha, w szczególności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, operatora sprzężonego na przestrzeniach Banacha, preliminaria słabej i słabej z gwiazdką zbieżności, twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.

7. Posiada umiejętności konstruowania rozumowań matematycznych: dowodzenia twierdzeń, jak i obalania hipotez poprzez konstrukcje i dobór kontrprzykładów.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie analizy funkcjonalnej jako abstrakcyjnego narzędzia w innych działach matematyki.

2. Posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.