Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Analiza numeryczna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135AN
Kod Erasmus / ISCED: 11.183 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Analiza numeryczna
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Metody numerycznego rozwiązywania ważnych zadań obliczeniowych matematyki stosowanej: zagadnienia własnego, wielkich układów równań liniowych, układów równań nieliniowych oraz całkowania wielowymiarowego.

Pełny opis:

* Zagadnienie własne. Uwarunkowanie zadania własnego. Metoda potegowa, odwrotna potegowa i Rayleigh. Iteracja QR. Zbieżność tych metod w przypadku symetrycznym. Sprowadzanie do prostszej postaci przez przekształcenia ortogonalne. Informacja o metodach: Jacobiego oraz ?dziel i rzadź?. Oszacowania kosztu tych metod i ich własności numeryczne. (3 wykłady)

* Rozkład SVD i jego zastosowanie do nieregularnego zadania najmniejszych kwadratów. (1 wykład)

* Metody iteracyjne rozwiazywania wielkich układów równań liniowych. Metody CG i GMRES, ich zbieżność i implementacja. Przykłady metod stacjonarnych i warunek dostateczny zbieżności. Przeglad innych metod iteracyjnych (CGT, PCR, BiCG, wielosiatkowe, itp). Możliwości prowadzenia obliczeń na komputerach równoległych. Ściskanie macierzy na przykładzie macierzy spektralnie równoważnych. (4 wykłady)

* Układy równań nieliniowych. Metoda Banacha. Metoda Newtona, z przybliżona pochodna, przybliżona metoda Newtona, Broydena. Twierdzenia o zbieżności tych metod. Informacja o twierdzeniu Kantorowicza. Kryteria stopu. Informacja o metodzie kontynuacji. (4 wykłady)

* Numeryczne obliczanie całek wielowymiarowych. Kwadratury jednowymiarowe (Newtona?Cotesa, Gaussa, złożone). Niskowymiarowe kwadratury na siatkach gestych. Przekleństwo wymiaru. Metoda całkowania Monte Carlo z dowodem. Informacja o metodach redukcji wariancji i o QMC. (3 wykłady)

Literatura:

J. Demmel, Numerical Linear Algebra

T. Kelley, Iterative Solution of Linear and Nonlinear Equations

P. Davis and P. Rabinovitz, Methods of numerical integration

P.Krzyżanowski, L.Plaskota, Matematyka obliczeniowa II

Efekty uczenia się:

Wiedza i umiejętności

1. Zna podstawowe formaty macierzy rzadkich. Zna kilka przykładów zadań w których takie macierze się pojawiają.

2. Wie co to jest iteracyjna metoda rozwiązywania układów równań liniowych

3. Zna metody iteracyjne typu Jakobi, Gauss, Seidel i Richardsona. Wie przy jakich założeniach te metody są zbieżne. Zna twierdzenie o warunku dostatecznym i koniecznym zbieżności prostych metod iteracyjnych.

4. Zna zasadę konstrukcji prostych metod gradientowych. Zna metodę najszybszego spadku i minimalnych residuów oraz zna twierdzenia mówiące o szybkości zbieżności tych metod.

5. Zna zasadę ogólną konstrukcji metod typu Kryłowa. Zna konstrukcję metod sprzężonych gradientów i GMRES. Wie przy jakich założeniach metody te są zbieżne i jaka jest oszacowanie szybkości zbieżności tych metod.

6. Wie na czym polega ściskanie macierzy (preconditioning) i zna kilka prostych technik konstrukcji prekonditionerów.

7. Zna wielowymiarowe metodę Newtona i metodę Banacha rozwiązywania układów równań nieliniowych. Wie kiedy te metody są zbieżne i co oznacza wykłądniczy rząd zbieżności metody iteracyjnej rozwiązywania układów równań nieliniowych.

8. Zna metodę Broydena. Wie jak praktycznie obliczać na komputerze kolejne iteracje tej metody.

9. Zna metody globalizacji zbieżności metod rozwiązywania układów równań nieliniowych

10. Wie na czym polega symetryczne numeryczne zadanie własne. Zna metodę sprowadzenia macierzy symetrycznej do macierzy podobnej trójdiagonalnej przy pomocy macierzy Householdera. Wie ile wynosi koszt tej operacji.

11. Zna metody potęgową i odwrotną potęgową. Wie przy kiedy te metody są zbieżne.

12. Zna wyprowadzenie metody QR i jej podstawowe własności.

13. Zna metodę dziel i rządź znajdowania par własnych dla macierzy trójdiagonalnej.

14. Zna metodę Hymana.

15. Wie na czym polega tzw. przeklęństwo wymiaru na przykładzie zadania wielowymiarowego całkowania.

16. Zna metody Monte Carlo i Quasi-Monte Carlo. Zna podstawowe własności tych metod.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie metod rozwiązywania przybliżonego układów równań, zadania własnego i całkowania wielowymiarowego jako narzędzi służących do modelowania praw przyrody.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)

Okres: 2023-10-01 - 2024-01-28
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Krzyżanowski
Prowadzący grup: Piotr Krzyżanowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.2.0-80474ed05 (2024-03-12)