Rachunek prawdopodobieństwa II (potok *)
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135RP2* |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.193
|
Nazwa przedmiotu: | Rachunek prawdopodobieństwa II (potok *) |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | polski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Skrócony opis: |
Rachunek Prawdopodobieństwa II zawiera wprowadzenie do teorii zbieżnosci według rozkładu (wykazanie równoważności wielu definicji, Centralne Twierdzenie Graniczne) i zastosowań w tej teorii elementów analizy harmonicznej (własności funkcji charakterystycznych). Ponadto omówione zostaną elementy teorii martyngałów (czyli, mowiąc w uproszczeniu, gier sprawiedliwych) i łańcuchów Markowa (pewnej klasy systemów losowych ewoluujących w czasie). |
Pełny opis: |
Zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa. Funkcje charakterystyczne rozkładu prawdopodobieństwa, zastosowanie do obliczania momentów, do znajdywania rozkładów niezależnych zmiennych losowych. Twierdzenie o jednoznaczności. Twierdzenie Levy'ego o równoważności zbieżności rozkładów i punktowej zbieżności funkcji charakterystycznych. Centralne twierdzenie graniczne: de Moivre'a Laplace'a, dla niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wstęp do martyngałów, przykłady, martyngał jako gra "sprawiedliwa'', momenty zatrzymania, tw. Dooba "optional sampling''. Łańcuchy Markowa. Klasyfikacja stanów. Warunki powracalności, twierdzenie ergodyczne. |
Literatura: |
J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa 2001. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa (t. I i II), PWN, Warszawa 1975 i późniejsze wydania. A. Borowkow, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1975. S. Zubrzycki, Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970. A. Sziriajew, Wierojatnost, Nauka, Moskwa 1980. |
Efekty uczenia się: |
Student 1. zna pojęcie zbieżności według rozkładu i różne jego charakteryzacje (m.in. w terminach zbieżności punktowej gęstości, atomów, dystrybuant, itp.). Zna definicję ciasności rodziny rozkładów oraz twierdzenie Prochorowa; 2. zna pojęcie funkcji charakterystycznej rozkładu zmiennej losowej. Potrafi odczytywać z postaci tej funkcji rozmaite własności rozkładu. Potrafi powiązać zbieżność według rozkładu ze zbieżnością punktową funkcji charakterystycznych; 3. zna Centralne Twierdzenie Graniczne (w ogólnej postaci, wykorzystującej warunek Lindeberga) i potrafi je wykorzystywać w zastosowaniach. Zna oszacowanie na błąd związany z przybliżeniem (twierdzenie Berry-Esseena); 4. zna pojęcie wielowymiarowego rozkładu gaussowskiego, zna postać jego funkcji charakterystycznej, umie powiązać nieskorelowanie współrzędnych wektora gaussowskiego z ich niezależnością, potrafi sformułować wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Graniczne; 5. zna pojęcie martyngału, nadmartyngału i podmartyngału z czasem dyskretnym oraz podstawowe nierówności związane z tymi procesami. Zna warunki które pociągają za sobą zbieżność prawie na pewno takich procesów. Zna pojęcie jednostajnej całkowalności rodziny zmiennych losowych, potrafi scharakteryzować zbieżność martyngałów w L_p; 6. zna pojęcie łańcucha Markowa i pokrewnych obiektów (przestrzeń stanów, macierz przejścia, rozkład początkowy, rozkład stacjonarny, itp.). Potrafi podać klasyfikację stanów (okresowe, powracające, chwilowe). Zna kryteria powracalności. Zna twierdzenie ergodyczne i jego zastosowania. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR WYK
CW
CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Rafał Latała | |
Prowadzący grup: | Rafał Latała | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2024-10-01 - 2025-01-26 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Krzysztof Oleszkiewicz | |
Prowadzący grup: | Krzysztof Oleszkiewicz | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2025-02-17 - 2025-06-08 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Rafał Latała | |
Prowadzący grup: | (brak danych) | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.