Teoria liczb
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135TL |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.123
|
Nazwa przedmiotu: | Teoria liczb |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Skrócony opis: |
Podstawowy wykład z teorii liczb. W pewnych miejscach posiłkuje się podstawowymi pojęciami i faktami z algebry abstrakcyjnej. Z drugiej strony motywuje dodatkowo te pojęcia. |
Pełny opis: |
1. Wprowadzenie liczb naturalnych, podstawy teorii, Aksjomaty Peano, 2. Liczby całkowite Z i ich podstawowe własności (w tym algorytm Euklidesa oraz tak zwane podstawowe twierdzenie arytmetyki), 3. Kongruencje, pierścienie ilorazowe Zm i ich podstawowe własności z zastosowaniami (tw. Wilsona, Eulera, Fermata), 4. Liczby pseudopierwsze, kryterium Millera-Rabina, 5. Zastosowania do kryptografii (podpis elektroniczny), 6. Liniowe równania diofantyczne, 7. Przedstawianie liczb pierwszych w postaci x2+dy2 8. Kwadratowe prawo wzajemności i jego konsekwencje, 9. Klasyczne problemy Teorii liczb: Wielkie twierdzenie Fermata hipoteza Goldbacha, problem Waringa, dzeta-funkcja i hipoteza Riemanna, 10. Twierdzenie o liczbach pierwszych, 11. Wstęp do ogólnej teorii elementów całkowitych i rozszerzeń całkowitych, 12. Pierścienie liczb całkowitych w skończonych rozszerzeniach ciała liczb wymiernych, istnienie bazy całkowitej, pierścienie Dedekinda, 13. Rozkłady ideałów w pierścieniach Dedekinda, 14. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach kwadratowych. pierścienie Euklidesowe, zastosowania do rozwiązywania równań diofantycznych. 15. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach cyklotomicznych, związek z Wielkim twierdzeniem Fermata 16. Elementy odwracalne w pierścieniach liczb całkowitych rozszerzeń kwadratowych, równanie Pella. Informacja o twierdzeniu Dirichleta |
Efekty uczenia się: |
1. Student zna podstawowe fakty i pojęcia związane z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki; zna uogólnienia tego twierdzenia na przypadek pierścieni liczb całkowitych ciał liczbowych. 2. Student zdaje sobie sprawę z fundamentalnego znaczenia liczb pierwszych w matematyce i zna historię badań nad ich rozmieszczeniem; potrafi sformułować i udowodnić twierdzenie Czebyszewa lub Hadamarda-Poussena o liczbach pierwszych. 3. Student zna pojęcie kongruencji w pierścieniu liczb całkowitych i postrzega je na tle rozwoju algebry abstrakcyjnej; potrafi stosować podstawowe fakty i twierdzenia (małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Eulera, twierdzenie Wilsona); rozumie znaczenie teorii kongruencji dla współczesnej kryptografii. 4. Student potrafi rozwiązywać najprostsze równania diofantyczne (w szczególności dowodzić, że dane równanie nie ma rozwiązań); umie wykorzystywać w tym celu własności pierścieni liczb całkowitych w ciałach liczbowych. 5. Student zna prawo wzajemności dla reszt kwadratowych i potrafi je stosować. 6. Student zna najsłynniejsze otwarte problemy teorii liczb; potrafi rozeznać ich znaczenie w samej teorii liczb i w szerszym kontekście (matematycznym i kulturowym). |
Metody i kryteria oceniania: |
Przedmiot kończy się egzaminem. Dopuszczenie do egzaminu jest warunkowane zaliczeniem ćwiczeń u prowadzących. Dopuszczenia do egzaminu w terminie zerowym odbywa się w oparciu o przedstawioną opinię n.t. studenta przez prowadzącego ćwiczenia. |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)
Okres: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Przejdź do planu
PN WYK
CW
WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Mariusz Skałba | |
Prowadzący grup: | Mariusz Skałba | |
Strona przedmiotu: | https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/uw/202223-teoria-liczb/index.html | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2025-02-17 - 2025-06-08 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | (brak danych) | |
Prowadzący grup: | (brak danych) | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.