Układy dynamiczne

fakultatywne

Teoria układów dynamicznych bada długookresową ewolucję układów odbywającą się na mocy niezmiennych w czasie i deterministycznych reguł. Ewolucja może zatem być zadana przez iteracje pewnego przekształcenia (czas dyskretny) lub np. rozwiązania równania różniczkowego (czas ciągły). Teoria opisuje regularne i chaotyczne właściwości pewnych klas układów, bada ich stabilność oraz określa ich niezmienniki (takie jak np. entropia).

Gładkie układy dynamiczne. Twierdzenia Grobmana-Hartmana i Hadamarda-Perrona. Proste układy: gradientowe, Morse'a-Smale'a. Układy chaotyczne: podkowa Smale'a, punkt homokliniczny (przykład wahadła matematycznego z wymuszeniem), potok geodezyjny, atraktory. Strukturalna stabilność i własności typowe. Punkty niebłądzące i eksplozja. Iteracje przekształceń okręgu i odcinka. Elementy dynamiki holomorficznej (zbiór Julii i zbiór Mandelbrota - informacja). (7--8 wykładów).

Elementy teorii ergodycznej. Przekształcenia zachowujące miarę, przykłady. Układy symboliczne. Twierdzenie Liouville'a. Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa. Ergodyczność. Istnienie miar niezmienniczych. Operator Perrona-Frobeniusa. Entropia metryczna. Twierdzenie Shannona-Breimana-McMillana. Podaddytywne twierdzenie ergodyczne i wykładniki Lapunowa. Wymiar Hausdorffa zbiorów niezmienniczych. (7--8 wykładów)

Stany Gibbsa w mechanice statystycznej. Rozkład Gibbsa i suma statystyczna dla modelu Isinga. Rozwinięcia gronowe w wysokich temperaturach i przejścia fazowe w niskich temperaturach -- informacyjnie.

R. L. Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Westview Press, Boulder 2003.

S. W. Fomin, I. P. Kornfeld, J. G. Sinaj, Teoria ergodyczna, PWN, Warszawa 1987.

B. Hasselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics. With a panorama of recent developments, Cambridge University Press, New York 2003.

A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambbridge 1995.

V. A. Malyshev, R. L. Minlos, Gibbs random fields. Cluster expansions, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht 1991 (oryg. rosyjski Nauka, Moskwa 1985).

Z. Nitecki, Differentiable dynamics. An introduction to the orbit structure of diffeomorphisms, MIT Press, Cambridge 1971.

C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos. Studies in Advanced Mathematics, CRS Press, Boca Raton 1999.

W. Szlenk, Gładkie układy dynamiczne, PWN, Warszawa 1982.

1. Znajomość podstawowych pojęć Układów Dynamicznych (układ dynamiczny, trajektoria, zbiór graniczny, sprzężenie)

2. Dynamika homeomorfizmów okręgu: Znajomość pojęcia liczby obrotu i jej własności. Znajomość twierdzenia Denjoy'a.

3. Iteracje przekształceń odcinka: Znajomość twierdzenia Szarkowskiego. Znajomość podstawowych informacji o rodzinie kwadratowej (logistycznej). Znajomość pojęcia bifurkacji podwojenia okresu i twierdzenia o gęstości przekształceń hiperbolicznych w rodzinie kwadratowej.

4. Gładkie układy dynamiczne na rozmaitościach: Znajomość twierdzenia Hadamarda-Perrona i definicji rozmaitości stabilnych i niestabilnych. Znajomość twierdzenia Grobmana-Hartmana. Znajomość definicji układów Morse'a-Smale'a i ich podstawowych własności. Znajomość przykładu Omega-eksplozji. Znajomość pojęcia kodowania dla podkowy Smale'a. Znajomość definicji zbioru hiperbolicznego i układów Anosowa. Znajomość twierdzenia o epsilon-trajektoriach („shadowing”). Umiejętność jakościowego przeanalizowania prostych przykładów gładkich układów dynamicznych.

5. Teoria ergodyczna układów dynamicznych: Znajomość definicji miary niezmienniczej i pojęcia ergodyczności. Znajomość podstawowych przykładów układów zachowujących miarę (twierdzenie Liouville'a, potoki geodezyjne, automorfizmy torusa, bilardy). Znajomość twierdzenia ergodycznego Birkhoffa. Znajomość twierdzenia Kryłowa-Bogolubowa o istnieniu miar niezmienniczych. Znajomość pojęcia entropii metrycznej i jej podstawowe własności. Znajomość twierdzenia Shennona-McMillana-Breimana. Znajomość Zasady Wariacyjnej.

6. Dynamika holomorficzna: Znajomość pojęcia zbioru Julii i zbioru Mandelbrota. Znajomość podstawowych przykładów dynamiki przekształceń holomorficznych.

Rozwiązywanie zadań domowych i przedstawianie ich na ćwiczeniach. Ewentualne krótkie referaty. Egzamin pisemny - kilka zadań dotyczących podstawowych własności i przykładów układów dynamicznych. W razie potrzeby egzamin ustny.