Wstęp do geometrii różniczkowej

1. Podrozmaitości przestrzeni euklidesowych, parametryzacje, twierdzenie o rzędzie (przypomnienie). Przestrzenie wektorów stycznych; przekształcenia gładkie i ich pochodna (różniczka). Bazy przestrzeni stycznych wyznaczane przez parametryzacje (mapy). Przykład podrozmaitości: grupa ortogonalna. Przekształcenia rozmaitości, których różniczka zachowuje iloczyn skalarny (izometrie wewnętrzne). Izometrie przestrzeni euklidesowych (przypomnienie).

2. Metoda ruchomego reperu. Krzywe w przestrzeniach euklidesowych, ze szczególnym uwzględnieniem wymiarów 2 i 3.

3. Równania Freneta-Serreta (jako zastosowanie metody ruchomego reperu); twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności krzywej o zadanych krzywiznach. Twierdzenie Hopfa o indeksie zamkniętej krzywej płaskiej (Umlaufsatz), ew. bez dowodu.

4. Zorientowane powierzchnie w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Reper Darboux krzywej na powierzchni - krzywizna normalna i geodezyjna, skręcenie geodezyjne (zastosowanie metody ruchomego reperu). Krzywe geodezyjne. Geometryczna interpretacja krzywizny normalnej jako krzywizny przekroju. Odwzorowanie Weingartena; krzywizny główne, krzywizna Gaussa i krzywizna średnia. I i II forma podstawowa oraz ich macierze w bazach wyznaczonych przez parametryzację. (3 wykłady)

5. Geometria wewnętrzna powierzchni. Symbole Christoffela i ich wyrażenie w terminach współczynników I formy podstawowej. Theorema egregium. Równania krzywych geodezyjnych w terminach symboli Christoffela. Istnienie parametryzacji półgeodezyjnej i własność minimalności geodezyjnych. Powierzchnie o stałej krzywiźnie Gaussa (trójkąty geodezyjne).

5. Pola wzdłuż krzywych gładkich na powierzchniach i ich pochodna kowariantna. Pola równoległe i przeniesienie równoległe wektorów stycznych. Interpretacja całki krzywizny Gaussa w terminach przeniesienia równoległego po brzegu obszaru. Lokalna wersja tw. Gaussa-Bonneta. Wersja globalna (ewentualnie bez dowodu).

6. Abstrakcyjna metryka Riemanna na podzbiorach otwartych przestrzeni afinicznej. Długość krzywej i miara wyznaczona przez metrykę Riemanna oraz inne pojęcia geometrii wewnętrznej (np. geodezyjne). Modele płaszczyzny hiperbolicznej (ew. związki z analizą zespoloną).

Student:

1. Rozumie pojęcie podrozmaitości w przestrzeniach euklidesowych, geometryczne znaczenie wektora stycznego oraz

pochodnej (różniczki) odwzorowania między podrozmaitościami.

2. Rozumie geometryczny sens parametryzacji krzywej jej długością oraz pojęcia krzywizny i torsji krzywej przestrzennej. Rozumie geometryczny sens twierdzenia Umlaufsatz.

3. Rozumie różnicę między geometrycznymi własnościami wewnętrznymi i zewnętrznymi podrozmaitości przestrzeni euklidesowych. Rozumie geometryczny sens odwzorowania Weingartena zorientowanej powierzchni.

4. Potrafi wskazać na powierzchni punkty o dodatniej, ujemnej i zerowej krzywiźnie Gaussa oraz wie, że krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem geometrii wewnętrznej.

5. Zna geometryczną interpretację geodezyjnych na powierzchniach i wie, że są one zachowywane przy izometriach wewnętrznych.

6. Potrafi wskazać przykłady przeniesienia równoległego wektorów wzdłuż krzywych.

7. Zna przykłady powierzchni o stałej krzywiźnie oraz własności trójkątów geodezyjnych na tych powierzchniach.

8. Rozumie geometryczny sens lokalnego twierdzenia Gaussa-Bonneta i topologiczny sens globalnego twierdzenia Gaussa-Bonneta (oraz analogię z twierdzeniem Hopfa).

9. Zna przykłady powierzchni z abstrakcyjną metryką Riemanna (w szczególności modele geometrii hiperbolicznej na kole i półpłaszczyźnie).