Wstęp do procesów stochastycznych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135WPS |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.193
|
Nazwa przedmiotu: | Wstęp do procesów stochastycznych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | polski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Założenia (opisowo): | Rachunek Prawdopodobieństwa I, Rachunek Prawdopodobieństwa II |
Skrócony opis: |
Wprowadzenie podstawowych pojęć teorii procesów stochastycznych. Definicja i własności procesu Poissona i procesu Wienera. Wstępne informacje o procesach Markowa i martyngałach z czasem ciągłym. |
Pełny opis: |
1. Procesy stochastyczne - podstawowe definicje. Procesy o przyrostach niezależnych. Proces Wienera i proces Poissona, własności trajektorii. Nieróżniczkowalność trajektorii ruchu Browna. Konstrukcja procesu Wienera za pomocą funkcji Haara, konstrukcja procesu Poissona. 2. Elementy ogólnej teorii procesów: rozkłady skończeniewymiarowe, informacje o warunkach zgodności i twierdzeniu o istnieniu procesu (bez dowodu). Sprawdzenie warunków zgodności dla wybranych procesów. 3. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu modyfikacji ciągłej. 4. Procesy Markowa - podstawowe definicje. Markowskość procesu Wienera. Mocna własność Markowa dla procesu Wienera. Zasada odbicia, rozkład supremum procesu Wienera. 5. Procesy gaussowskie. Własności funkcji kowariancji. Proces Wienera jako proces gaussowski. Ułamkowy ruch Browna. Proces Ornsteina-Uhlenbecka. 6. Momenty zatrzymania, filtracje. Jednostajna całkowalność – w miarę potrzeb. 7. Martyngały z czasem ciągłym, twierdzenia: Dooba o stopowaniu, nierówności, twierdzenia o zbieżności. 8. Martyngały związane z procesem Wienera, momenty wyjścia z kuli/dojścia do kuli, powracalność i tranzytywność. |
Literatura: |
1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, wydanie IV, Warszawa 2010. 2. R. Schilling, Lothar Partzsch, Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes Walter de Gruyter, 2012. 3. A.D. Wentzell. Wykłady z teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa, 1980. |
Efekty uczenia się: |
I. Wiedza. 1. Zna podstawowe pojęcia nowoczesnej teorii procesów stochastycznych. 2. Zna definicję i podstawowe własności procesu Poissona i Wienera. 3. Ma wiedzę z zakresu podstaw procesów Markowa i martyngałów z czasem ciągłym. II. Umiejętności. 1. Potrafi badać procesy stochastyczne pod kątem ich własności. 2. Potrafi operować podstawowymi twierdzeniami dotyczącymi martyngałów z czasem ciągłym. 3. Umie badać i stosować własność Markowa dla danych procesów. III. Kompetencje społeczne. Umie przedstawić w zrozumiałym języku podstawowe pojęcia teorii procesów stochastycznych i zaprezentować ich przykłady. |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)
Okres: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Przejdź do planu
PN WYK
CW
WT ŚR CW
CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Rafał Latała | |
Prowadzący grup: | Tomasz Gałązka, Rafał Latała | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2025-02-17 - 2025-06-08 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Adam Osękowski | |
Prowadzący grup: | Tomasz Gałązka, Adam Osękowski | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.