Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WRC
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Fizyka, II stopień; przedmioty z listy "Wybrane zagadnienia fizyki współczesnej"
Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Wprowadzenie do teorii liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Wybrane elementy teorii dystrybucji i przestrzeni Sobolewa; zastosowania do zagadnień eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych.

Pełny opis:

Przykłady rownań różniczkowych cząstkowych; związki z fizyką i geometrią. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, informacja o metodzie charakterystyk. (1--2 wykłady)

Równanie falowe w wymiarach n=1, 2, 3. Wzory d'Alemberta, Poissona, Kirchhoffa. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Zasada Huygensa. Niejednorodne równanie falowe, metoda Duhamela. Równanie przewodnictwa cieplnego. Zasada maksimum. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Interpretacja probabilistyczna. Porównanie własności rozwiązań równania przewodnictwa cieplnego i równania falowego; interpretacje fizyczne. Równanie Laplace'a i Poissona. Funkcje harmoniczne: własność wartości średniej, zasada maksimum, nierówność Harnacka, ciągi funkcji harmonicznych. Funkcja Greena. Metoda Perrona i pojęcie bariery. Klasyfikacja równań rzędu drugiego. (4--6 wykładów)

Dystrybucje i przestrzenie Sobolewa: motywacje i definicje. Gęstość funkcji gładkich. Nierówność Poincarego.

Twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Twierdzenie o śladzie. Metoda wariacyjna Ritza i słabe rozwiązania eliptycznych zagadnień brzegowych. Lemat Weyla; wzmianka o teorii regularności. (3--4 wykłady)

Funkcje i wartości własne operatora Laplace'a. (1--2 wykłady)

Twierdzenie Cauchy'ego i Kowalewskiej; przykład istotności założeń. Informacja o twierdzeniu Holmgrena. (1 wykład)

Literatura:

L.C. Evans. Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002.

L. Bers, J. Fritz, M. Schechter. Partial differential equations. Interscience, 1964.

Efekty uczenia się:

Wiedza i umiejętności:

1. wie, co to jest równanie różniczkowe cząstkowe; rozróżnia równania eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne

2. umie wyprowadzić wzór d’Alemberta; zna metodę wyprowadzenia wzorów Kirchhoffa i Poissona

3. zna własności funkcji harmonicznych, w szczególności własność wartości średniej i jej konsekwencje

4. zna nierówność Harnacka i jej konsekwencje

5. w prostych przypadkach znajduje funkcję Greena

6. zna wzór na rozwiązanie równania ciepła w całej przestrzeni

7. umie wykorzystywać zasadę maksimum w dowodach jednoznaczności rozwiązań

8. korzysta z metod energetycznych

9. umie rozwiązywać wybrane równania różniczkowe cząstkowe metodą rozdzielenia zmiennych; zna podstawowe własności szeregów Fouriera

10. zna metodę Perrona

11. zna definicje i podstawowe własności przestrzeni Sobolewa

12. umie wykazać istnienie słabych rozwiązań, posługując się twierdzeniem Laxa-Milgrama

13. umie wykazać nierówność Poincarego oraz twierdzenie Sobolewa

14. na wybranych przykładach pokazuje związek istnienia rozwiązania równania różniczkowego z istnieniem minimum odpowiedniego funkcjonału

Kompetencje społeczne:

1. umie pracować w grupie, rozwiązując i omawiając problemy związane z teorią równań różniczkowych cząstkowych

2. zna rolę równań różniczkowych cząstkowych w opisie świata fizycznego

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (zakończony)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Piasecki
Prowadzący grup: Grzegorz Łukaszewicz, Tomasz Piasecki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2022/23" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2023-02-20 - 2023-06-18

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Mucha
Prowadzący grup: Grzegorz Łukaszewicz, Piotr Mucha
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.0.0-b0f1269b6 (2022-09-28)