Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wybrane zagadnienia z analizy funkcjonalnej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135ZAF Kod Erasmus / ISCED: 11.153 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Wybrane zagadnienia z analizy funkcjonalnej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF

Założenia (opisowo):

Przystępując do kursu student powinien mieć podstawowe przygotowanie z analizy funkcjonalnej - znać pojęcie przestrzeni unormowanej, przestrzeni Banacha, przestrzeni Hilberta (wraz z najważniejszymi przykładami), przestrzeni dualnej, operatora ograniczonego, operatora sprzężonego. Wskazane jest, aby mieć zaliczony wcześniej przedmiot "Analiza funkcjonalna".

Skrócony opis:

Celem wykładu jest zaprezentowanie przykładów zastosowań narzędzi i metod analizy funkcjonalnej w innych działach matematyki. Przedstawiona zostanie teoria spektralna dla operatorów zwartych na przestrzeniach Banacha oraz operatorów normalnych na przestrzeniach Hilberta i jej znaczenie dla równań różniczkowych. Omówimy też transformatę Fouriera, teorię dystrybucji, algebry splotowe, a także słabe i *-słabe topologie na przestrzeniach liniowo topologicznych oraz przykłady ich naturalnego występowania.

Pełny opis:

1. Własności spektralne operatorów zwartych na przestrzeniach Banacha; alternatywa Fredholma i twierdzenie Riesza-Schaudera; zastosowania do równań całkowych.

2. Przestrzenie liniowo-topologiczne; lokalna wypukłość topologii zadanych przez rodzinę półnorm; słabe i *-słabe topologie; twierdzenie Banacha-Alaoglu; punkty ekstremalne i twierdzenie Kreina-Milmana.

3. Elementy teorii algebr Banacha i C*-algebr; algebra Calkina a widmo istotne i operatory Fredholma; transformata Gelfanda i twierdzenie Gelfanda-Najmarka.

4. Miary spektralne i rozkład jedności; twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych na przestrzeniach Hilberta; rachunek funkcyjny; operatory dodatnie i unitarne - rozkład polarny.

5. Algebry splotowe - transformata Fouriera jako transformata Gelfanda; wstęp do teorii dystrybucji - dystrybucje temperowane i transformata Fouriera; twierdzenie tauberowskie Wienera i jego zastosowanie do dowodu twierdzenia o liczbach pierwszych.

Literatura:

1. W. Arveson, A short course on spectral theory, Springer 2002.

2. J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag 1985.

3. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach space theory, Springer 2011.

4. E. Kaniuth, A course in commutative Banach algebras, Springer 2009.

5. R.E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Springer 1998.

6. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

7. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

8. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2012.

Efekty uczenia się:

Wiedza i umiejętności:

1. Rozumie teorię Riesza operatorów zwartych na przestrzeniach Banacha oraz przykłady jej zastosowań do równań całkowych.

2. Potrafi wskazać przykłady naturalnego występowania przestrzeni (lokalnie wypukłych) liniowo-topologicznych, jak również słabych i *-słabych topologii w różnych strukturach matematycznych.

3. Potrafi sformułować i rozumie twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych na przestrzeni Hilberta - abstrakcyjne podejście przez teorię C*-algebr oraz ważne konsekwencje takie jak rachunek funkcyjny.

4. Rozumie transformatę Fouriera jako ważne narzędzie występujące w różnych aspektach - jako sposób transformowania "dziedziny czasu" na "dziedzinę częstotliwości", jako transformatę Gelfanda algebry splotowej, jako transformatę działająca na dystrybucjach temperowanych.

5. Zna podstawy teorii dystrybucji, pojęcie dystrybucji temperowanej. Rozumie ideę zastosowań abstrakcyjnej analizy funkcjonalnej do twierdzeń tauberowskich, a tych z kolei do dowodu jednego z najważniejszych twierdzeń teorii liczb, tj. twierdzenia o liczbach pierwszych.

Kompetencje społeczne:

1. Rozumie znaczenie analizy funkcjonalnej jako abstrakcyjnego narzędzia w innych działach matematyki.

Metody i kryteria oceniania:

Ocena końcowa obliczona na podstawie punktów za ćwiczenia i wyniku egzaminu.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Kochanek
Prowadzący grup: Tomasz Kochanek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Przedmiot dedykowany programowi:

4EU+KURSY

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: Tomasz Kochanek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.