Równania różniczkowe nauk przyrodniczych

Proseminarium jest adresowane do osób zainteresowanych zastosowaniem metod matematycznych do opisu zjawisk fizycznych. Badamy głównie zagadnienia należące do mechaniki, fizyki matematycznej i hydrodynamiki, ale także biologii.

Analizowane będą głównie, ale nie tylko (chętnie widzimy propozycje własne studentów), następujące zagadnienia:

1) Rachunek wariacyjny w fizyce i geometrii (np. mechanika Lagrange'a, zagadnienia Fermata, Plateau).

2) Zagadnienie dwóch ciał i ograniczone zagadnienie trzech ciał (uklad planetarny, satelity).

3) Zastosowanie szeregów Fouriera do równania rozchodzenia się fal i przewodnictwa ciepla.

4) Wyprowadzenie podstawowych równań hydrodynamiki z praw zachowania Newtona. Analiza przeplywów szczegolnych (z symetriami, rozwiązania jawne), badanie asymptotyki względem czasu.

5) Zagadnienia jakościowej teorii równań różniczkowych i teorii bifurkacji na przykładzie np. modeli w mechanice i biologii.

Prace licencjackie składają się zwykle z dwóch części. Pierwsza to teoretyczne opracowanie, na podstawie przeczytanej literatury (dotyczy to opisania w języku matematyki danego zjawiska, zbudowania modelu matematycznego), a druga - rozwiązanie konkretnego zadania (analiza rozwiązań rozważanego modelu matematycznego i jego interpretacja fizyczna. W części drugiej można korzystać z programów typu Mathematica do analizy oraz wizualizacji rozwiązań.

Wiedza i umiejętności:

1.Jest świadomy szerszego kontekstu badań naukowych: sformułowanie problemu fizycznego lub biologicznego, historia problemu, zbudowanie modelu matematycznego za pomocą równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych, rozwiązanie analityczne problemu matematycznego, analiza numeryczna i wizualizacja, interpretacja wyników w kontekście problemu wyjściowego, analiza krytyczna modelu matematycznego.

2.Potrafi samodzielnie wyszukać literaturę przedmiotu w postaci monografii naukowych, artykułów naukowych i stron internetowych i wykorzystać ją w swojej pracy.

3.Potrafi w sposób jasny zreferować dany problem na seminarium i wykorzystać właściwie czas przydzielony na referat.

4.Potrafi napisać tekst matematyczny w latexie.

Kompetencje społeczne:

5.Potrafi samodzielnie napisać dłuższy tekst matematyczny mający strukturę artykułu naukowego z zakresu matematyki i jej zastosowań w naukach przyrodniczych.

6.Jest przygotowany do studiowania oryginalnych prac naukowych i wniesienia własnego wkładu do omawianej dziedziny, w szczególności, do napisania ambitnej pracy magisterskiej.

7.Potrafi uczestniczyć w dyskusji naukowej i bronić swoich tez.