Niedowodliwość

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-1M18ND
Kod Erasmus / ISCED:	11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Niedowodliwość
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:	Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	monograficzne
Założenia (opisowo):	Znajomość logiki na poziomie np. wykładu fakultatywnego "Logika matematyczna". Niezbędna wiedza na temat liczb porządkowych i kardynalnych (którą można nabyć np. na wykładzie "Teoria mnogości") zostanie przypomniana na początku semestru.
Skrócony opis:	Wykład będzie poświęcony kilku ważnym typom twierdzeń o niedowodliwości w teoriach aksjomatycznych. Twierdzenia o niedowodliwości są formalnym świadectwem tego, że pewne problemy matematyczne nie mogą być rozstrzygnięte za pomocą określonych metod, pojęć czy obiektów.
Pełny opis:	Program zajęć obejmie następujące cztery bloki tematyczne. 1. Niesprzeczność hipotezy continuum. Aksjomatyka teorii mnogości. Przypomnienie liczb porządkowych i kardynalnych. Zbiory konstruowalne i ich własności. Prawdziwość CH w uniwersum zbiorów konstruowalnych. W miarę wolnego czasu: twierdzenie Scotta o nieistnieniu liczb mierzalnych w uniwersum zbiorów konstruowalnych. 2. Dowody twierdzeń kombinatorycznych wymagające odwołań do nieskończoności. Arytmetyka Peano PA jako kanoniczna teoria obiektów skończonych. Twierdzenie Gödla i wyniki pokrewne. Twierdzenie Parisa-Harringtona jako przykład zdania kombinatorycznego niedowodliwego w PA. Związek z siłą logiczną nieskończonego twierdzenia Ramseya. 3. Siła i ograniczenia argumentów ze zwartości. Słaby lemat Königa: aksjomat formalizujący argumenty ze zwartości w logice, topologii i analizie. Twierdzenie Harringtona o konserwatywności słabego lematu Königa nad aksjomatem wyróżniania dla zbiorów rozstrzygalnych. Wnioski dotyczące niedowodliwości za pomocą słabego lematu Königa. Metoda forcingu dla aksjomatycznych teorii arytmetyki. 4. Konieczność odwołań do obiektów wykładniczo dużych Arytmetyka ograniczona jako formalizacja idei arytmetyki bez funkcji wykładniczej. Niedowodliwość zasady szufladkowej w arytmetyce ograniczonej. W miarę wolnego czasu: dowodliwość istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w arytmetyce ograniczonej (twierdzenie Parisa, Wilkiego i Woodsa).
Literatura:	1. T. Jech, Set Theory, The Third Millenium Edition, Springer 2006. 2. R. Kaye, Models of Peano Arithmetic, Oxford 1991. 3. S. G. Simpson, Subsystems of Second Order Arithmetic, Cambridge 2009. 4. J. Krajicek, Bounded Arithmetic, Propositional Logic, and Complexity Theory, Cambridge 1995. 5. Artykuły badawcze i inne źródła uzupełniające.
Metody i kryteria oceniania:	Egzamin.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.