Niedowodliwość
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M18ND |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Niedowodliwość |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Znajomość logiki na poziomie np. wykładu fakultatywnego "Logika matematyczna". Niezbędna wiedza na temat liczb porządkowych i kardynalnych (którą można nabyć np. na wykładzie "Teoria mnogości") zostanie przypomniana na początku semestru. |
Skrócony opis: |
Wykład będzie poświęcony kilku ważnym typom twierdzeń o niedowodliwości w teoriach aksjomatycznych. Twierdzenia o niedowodliwości są formalnym świadectwem tego, że pewne problemy matematyczne nie mogą być rozstrzygnięte za pomocą określonych metod, pojęć czy obiektów. |
Pełny opis: |
Program zajęć obejmie następujące cztery bloki tematyczne. 1. Niesprzeczność hipotezy continuum. Aksjomatyka teorii mnogości. Przypomnienie liczb porządkowych i kardynalnych. Zbiory konstruowalne i ich własności. Prawdziwość CH w uniwersum zbiorów konstruowalnych. W miarę wolnego czasu: twierdzenie Scotta o nieistnieniu liczb mierzalnych w uniwersum zbiorów konstruowalnych. 2. Dowody twierdzeń kombinatorycznych wymagające odwołań do nieskończoności. Arytmetyka Peano PA jako kanoniczna teoria obiektów skończonych. Twierdzenie Gödla i wyniki pokrewne. Twierdzenie Parisa-Harringtona jako przykład zdania kombinatorycznego niedowodliwego w PA. Związek z siłą logiczną nieskończonego twierdzenia Ramseya. 3. Siła i ograniczenia argumentów ze zwartości. Słaby lemat Königa: aksjomat formalizujący argumenty ze zwartości w logice, topologii i analizie. Twierdzenie Harringtona o konserwatywności słabego lematu Königa nad aksjomatem wyróżniania dla zbiorów rozstrzygalnych. Wnioski dotyczące niedowodliwości za pomocą słabego lematu Königa. Metoda forcingu dla aksjomatycznych teorii arytmetyki. 4. Konieczność odwołań do obiektów wykładniczo dużych Arytmetyka ograniczona jako formalizacja idei arytmetyki bez funkcji wykładniczej. Niedowodliwość zasady szufladkowej w arytmetyce ograniczonej. W miarę wolnego czasu: dowodliwość istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w arytmetyce ograniczonej (twierdzenie Parisa, Wilkiego i Woodsa). |
Literatura: |
1. T. Jech, Set Theory, The Third Millenium Edition, Springer 2006. 2. R. Kaye, Models of Peano Arithmetic, Oxford 1991. 3. S. G. Simpson, Subsystems of Second Order Arithmetic, Cambridge 2009. 4. J. Krajicek, Bounded Arithmetic, Propositional Logic, and Complexity Theory, Cambridge 1995. 5. Artykuły badawcze i inne źródła uzupełniające. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.