Nierozstrzygalność i forcing iterowany
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M18NFI |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Nierozstrzygalność i forcing iterowany |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (lista przedmiotów): | Metoda Forcingu 1000-1M09MEF |
Założenia (opisowo): | Znajomośc podstaw metody forcingu. Własności rozszerzeń generycznych modeli ZFC. Podstawowe własnosci relacji forsowania. Nazwy. Absolutność. Modele przechodnie ZFC. Forcingi ccc i przeliczalnie domknięte. Niezalezność hipotezy kontinuum. |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Wykład jest kontynuacją przedmiotu ``Metoda forcingu" (1000-1M09MEF). Celem wykładu jest wprowadzenie studentów i doktorantów w bardziej zaawansowane dowody niesprzeczności i niezależności rozwiązań naturalnych problemów pojawiających się w matematycznej praktyce, które wymagają bardziej złożonych metod kombinatorycznych lub forcingowych, w szczególności forcingu iterowanego. Omówione będą iteracje ze skończonymi nośnikami, z przeliczalnymi nośnikami, forcingi właściwe (proper), dodawanie struktur generycznych itp. Początkowe umiejętności będą rozwijane na prostych klasycznych przykładach nierozstrzygalności własności miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a na prostej i algebr Boole'a. Złożoność przykładów z topologii i analizy funkcjonalnej będzie dostosowana do przygotowania uczestnikówow z tych przedmiotów i ich zainteresowań. |
Pełny opis: |
Wykład jest kontynuacją przedmiotu ``Metoda forcingu" (1000-1M09MEF). Celem wykładu jest wprowadzenie studentów i doktorantów w bardziej zaawansowane dowody niesprzeczności i niezależności rozwiązań naturalnych problemów pojawiających się w matematycznej praktyce, które wymagają bardziej złożonych metod kombinatorycznych lub forcingowych, w szczególności forcingu iterowanego. Początkowe umiejętności będą rozwijane na prostych klasycznych przykładach nierozstrzygalności własności miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a na prostej i algebr Boole'a. Złożoność przykładów z topologii i analizy funkcjonalnej będzie dostosowana do przygotowania uczestnikówow z tych przedmiotów i ich zainteresowań. Przykładowe tematy to: 1) Metody związane z modelami Cohena i modelami uzyskanymi przez dodanie liczb losowych: własności miary i kategorii, problem Ulama o prostokątach, wersje twierdzenia Fubiniego, problem istnienia uniwersalnych przestrzeni zwartych różnych klas oraz uniwersalnych p. Banacha. Własności narostów Cecha-Stone'a w modelu Cohena. 2) Iteracje ze skończonymi nośnikami i iteracje z przeliczalnymi nośnikami: dodawanie funkcji dominujących, forcing Sacksa, Prikrego-Silvera, Mathiasa; Axiomat A; specjalne typy ultrafiltrów, niezmienniki kardynalne, Axiomat Otwartego kolorowania (OCA), hipoteza Borela, przestrzenie Banacha z własnością Grothendiecka, przestrzenie zwarte Efimova. 3) Dodawanie struktur generycznych: konstrukcje ze skończonymi i przeliczalnymi aproksymacjami: forcing historyczny, duże przestrzenie Lindelofa z punktami o przeliczalnym pesudocharakterze, duże struktury z małą ilością endomorfizmów, kolorowania anty-ramsey'owskie i luki generyczne 4) Forcing i duże liczby kardynalne: kolaps Levy'ego, iteracje długości nieosiągalnej: zastosowania w drzewach i kombinatoryce nieskończonej. 5) Forcingi właściwe (proper). 6) Użyteczne zasady kombinatoryczne: zasada karo Jensena, OCA i Aksjomat Forcingu Właściwego: niesprzeczne konstrukcje C*-algebr, luki w P(N)/Fin. |
Literatura: |
U. Abraham, Proper forcing. Handbook of set theory. Vols. 1, 2, 3, 333--394, Springer, Dordrecht, 2010. T. Bartoszyński, H. Judah, Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. J. Baumgartner, Iterated forcing. Surveys in set theory, 1--59, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983. J. Baumgartner, Applications of the proper forcing axiom. Handbook of set-theoretic topology, 913--959, North-Holland, Amsterdam, 1984. M. Goldstern, Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991), 305--360, Israel Math. Conf. Proc., 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993. T. Jech, Set theory. The third millennium edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. |
Efekty uczenia się: |
1. Rozumie dowody niesprzeczności z wykorzystaniem modeli uzyskanych przy pomocy forcingu iterowanego. 2. Potrafi rozstrzygnąć czy zadane fakty dotycząace miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a lub niezmienników kardynalnych są prawdziwe lub fałszywe w modelach Cohena, modelach uzyskanych przez dodanie liczb losowych, modelu Sacksa itd. 3. Potrafi konstruować przy pomocy forcingu iterowanego (ze skończonymi lub przeliczalnymi nośnikami, włączywszy iteracje o długościach równych dużym liczbom kardynalnym) modele ZFC w których prawdziwe lub fałszywe są zadane zdania dotyczące kombinatoryki nieskończonej i związane z nimi fakty topologiczne lub analityczne. 4. Potrafi stosować Aksjomat Forcingu Właściwego i zasadę karo Jensena. 5. Potrafi wymyślić pojecie forcingu, które doda strukturę generyczną (algebrę Boole'a, przestrzeń Banacha, przestrzeń topologiczną) o zadanych własnościach. |
Metody i kryteria oceniania: |
Kartkówki, listy ćwiczeń, końcowy egzamin pisemny. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.