Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Nierozstrzygalność i forcing iterowany

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M18NFI
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Nierozstrzygalność i forcing iterowany
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (lista przedmiotów):

Metoda Forcingu 1000-1M09MEF

Założenia (opisowo):

Znajomośc podstaw metody forcingu. Własności rozszerzeń generycznych modeli ZFC. Podstawowe własnosci relacji forsowania. Nazwy. Absolutność. Modele przechodnie ZFC. Forcingi ccc i przeliczalnie domknięte. Niezalezność hipotezy kontinuum.

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Wykład jest kontynuacją przedmiotu ``Metoda forcingu" (1000-1M09MEF). Celem wykładu jest wprowadzenie studentów i doktorantów w bardziej zaawansowane dowody niesprzeczności i niezależności rozwiązań naturalnych problemów pojawiających się w matematycznej praktyce, które wymagają bardziej złożonych metod kombinatorycznych lub forcingowych, w szczególności forcingu iterowanego.

Omówione będą iteracje ze skończonymi nośnikami, z przeliczalnymi nośnikami, forcingi właściwe (proper), dodawanie struktur generycznych itp. Początkowe umiejętności będą rozwijane na prostych klasycznych przykładach nierozstrzygalności własności miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a na prostej i algebr Boole'a. Złożoność przykładów z topologii i analizy funkcjonalnej będzie dostosowana do przygotowania uczestnikówow z tych przedmiotów i ich zainteresowań.

Pełny opis:

Wykład jest kontynuacją przedmiotu ``Metoda forcingu" (1000-1M09MEF). Celem wykładu jest wprowadzenie studentów i doktorantów w bardziej zaawansowane dowody niesprzeczności i niezależności rozwiązań naturalnych problemów pojawiających się w matematycznej praktyce, które wymagają bardziej złożonych metod kombinatorycznych lub forcingowych, w szczególności forcingu iterowanego.

Początkowe umiejętności będą rozwijane na prostych klasycznych przykładach nierozstrzygalności własności miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a na prostej i algebr Boole'a. Złożoność przykładów z topologii i analizy funkcjonalnej będzie dostosowana do przygotowania uczestnikówow z tych przedmiotów i ich zainteresowań. Przykładowe tematy to:

1) Metody związane z modelami Cohena i modelami uzyskanymi przez dodanie liczb losowych: własności miary i kategorii, problem Ulama o prostokątach, wersje twierdzenia Fubiniego, problem istnienia uniwersalnych przestrzeni zwartych różnych klas oraz uniwersalnych p. Banacha. Własności narostów Cecha-Stone'a w modelu Cohena.

2) Iteracje ze skończonymi nośnikami i iteracje z przeliczalnymi nośnikami: dodawanie funkcji dominujących, forcing Sacksa, Prikrego-Silvera, Mathiasa; Axiomat A; specjalne typy ultrafiltrów, niezmienniki kardynalne, Axiomat Otwartego kolorowania (OCA), hipoteza Borela, przestrzenie Banacha z własnością Grothendiecka, przestrzenie zwarte Efimova.

3) Dodawanie struktur generycznych: konstrukcje ze skończonymi i przeliczalnymi aproksymacjami: forcing historyczny, duże przestrzenie Lindelofa z punktami o przeliczalnym pesudocharakterze, duże struktury z małą ilością endomorfizmów, kolorowania anty-ramsey'owskie i luki generyczne

4) Forcing i duże liczby kardynalne: kolaps Levy'ego, iteracje długości nieosiągalnej: zastosowania w drzewach i kombinatoryce nieskończonej.

5) Forcingi właściwe (proper).

6) Użyteczne zasady kombinatoryczne: zasada karo Jensena, OCA i Aksjomat Forcingu Właściwego: niesprzeczne konstrukcje C*-algebr, luki w P(N)/Fin.

Literatura:

U. Abraham, Proper forcing. Handbook of set theory. Vols. 1, 2, 3, 333--394, Springer, Dordrecht, 2010.

T. Bartoszyński, H. Judah, Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995.

J. Baumgartner, Iterated forcing. Surveys in set theory, 1--59, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983.

J. Baumgartner, Applications of the proper forcing axiom. Handbook of set-theoretic topology, 913--959, North-Holland, Amsterdam, 1984.

M. Goldstern, Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991), 305--360, Israel Math. Conf. Proc., 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993.

T. Jech, Set theory. The third millennium edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003.

Efekty uczenia się:

1. Rozumie dowody niesprzeczności z wykorzystaniem modeli uzyskanych przy pomocy forcingu iterowanego.

2. Potrafi rozstrzygnąć czy zadane fakty dotycząace miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a lub niezmienników kardynalnych są prawdziwe lub fałszywe w modelach Cohena, modelach uzyskanych przez dodanie liczb losowych, modelu Sacksa itd.

3. Potrafi konstruować przy pomocy forcingu iterowanego (ze skończonymi lub przeliczalnymi nośnikami, włączywszy iteracje o długościach równych dużym liczbom kardynalnym) modele ZFC w których prawdziwe lub fałszywe są zadane zdania dotyczące kombinatoryki nieskończonej i związane z nimi fakty topologiczne lub analityczne.

4. Potrafi stosować Aksjomat Forcingu Właściwego i zasadę karo Jensena.

5. Potrafi wymyślić pojecie forcingu, które doda strukturę generyczną (algebrę Boole'a, przestrzeń Banacha, przestrzeń topologiczną) o zadanych własnościach.

Metody i kryteria oceniania:

Kartkówki, listy ćwiczeń, końcowy egzamin pisemny.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)