Wstęp do form modularnych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M19WFM |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Wstęp do form modularnych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Funkcje analityczne (podstawy analizy zespolonej), Algebra 1 (podstawy arytmetyki i teorii grup) |
Skrócony opis: |
Formy modularne są jednym z najbardziej zaawansowanych narzędzi współczesnej teorii liczb. Pierwsze formy modularne zostały odkryte w XIX stuleciu. Są to funkcje holomorficzne posiadające tak dużo symetrii, że samo ich istnienie "wygląda na zbieg okoliczności" (cytat z Barry'ego Mazura). Takie funkcje mają szerokie zastosowanie w kombinatoryce (np. badanie własności funkcji podziałów), teorii liczb (np. Wielkie Twierdzenie Fermata) oraz w innych działach matematyki (np. Monstrous moonshine, problem pakowania sfer w wyższych wymiarach) i fizyki teoretycznej (kwantowa teoria pola). Formy modularne, albo bardziej ogólnie automorficzne, są centralnym pojęciem Programu Langlandsa, metahipotezy kształtującej obecny rozwój geometrii arytmetycznej. Przedmiot stanowi przystępne wprowadzenie do tych teorii. Główny nacisk będzie położony na przykłady i rozwiązanie konkretnych problemów. |
Pełny opis: |
I. Definicje i pierwsze przykłady: grupa modularna i jej obszar fundamentalny, szeregi Eisensteina i ich współczynniki Fouriera, formy cuspidalne, skończoność wymiaru przestrzeni form modularnych stałej wagi (3-4 wykłady) II. Formy modularne wyższych poziomów: kongruentne podgrupy i krzywe modularne, wzory na wymiar przestrzeni form modularnych, szeregi theta (3-4 wykłady) III. Moduli krzywych eliptycznych: krzywe algebraiczne na płaszczyźnie, algebraiczność torusów nad liczbami zespolonymi, rodziny krzywych eliptycznych i formy modularne (3-4 wykłady) IV. Operatory Heckego, formy własne i L-funkcje (3-4 wykłady) V. Przegląd innych wyników i zastosowań teorii form modularnych: teoria CM (complex multiplication), modularność krzywych eliptycznych, itd. (pozostały czas) |
Literatura: |
J.-P. Serre, A Course in Arithmetic (Chapter VII) D. Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Applications (in The 1-2-3 of Modular Forms) J.S. Milne, Modular Functions and Modular Forms J.S. Milne, Elliptic Curves |
Efekty uczenia się: |
Student potrafi konstruować formy modularne i dowodzić tożsamości pomiędzy nimi, rozumie geometryczne podstawy teorii oraz umie ją zastosować do udowodnienia niektórych klasycznych twierdzeń arytmetyki. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.