Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do form modularnych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M19WFM
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wstęp do form modularnych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (opisowo):

Funkcje analityczne (podstawy analizy zespolonej), Algebra 1 (podstawy arytmetyki i teorii grup)

Skrócony opis:

Formy modularne są jednym z najbardziej zaawansowanych narzędzi współczesnej teorii liczb. Pierwsze formy modularne zostały odkryte w XIX stuleciu. Są to funkcje holomorficzne posiadające tak dużo symetrii, że samo ich istnienie "wygląda na zbieg okoliczności" (cytat z Barry'ego Mazura). Takie funkcje mają szerokie zastosowanie w kombinatoryce (np. badanie własności funkcji podziałów), teorii liczb (np. Wielkie Twierdzenie Fermata) oraz w innych działach matematyki (np. Monstrous moonshine, problem pakowania sfer w wyższych wymiarach) i fizyki teoretycznej (kwantowa teoria pola). Formy modularne, albo bardziej ogólnie automorficzne, są centralnym pojęciem Programu Langlandsa, metahipotezy kształtującej obecny rozwój geometrii arytmetycznej.

Przedmiot stanowi przystępne wprowadzenie do tych teorii. Główny nacisk będzie położony na przykłady i rozwiązanie konkretnych problemów.

Pełny opis:

I. Definicje i pierwsze przykłady: grupa modularna i jej obszar fundamentalny, szeregi Eisensteina i ich współczynniki Fouriera, formy cuspidalne, skończoność wymiaru przestrzeni form modularnych stałej wagi (3-4 wykłady)

II. Formy modularne wyższych poziomów: kongruentne podgrupy i krzywe modularne, wzory na wymiar przestrzeni form modularnych, szeregi theta (3-4 wykłady)

III. Moduli krzywych eliptycznych: krzywe algebraiczne na płaszczyźnie, algebraiczność torusów nad liczbami zespolonymi, rodziny krzywych eliptycznych i formy modularne (3-4 wykłady)

IV. Operatory Heckego, formy własne i L-funkcje (3-4 wykłady)

V. Przegląd innych wyników i zastosowań teorii form modularnych: teoria CM (complex multiplication), modularność krzywych eliptycznych, itd. (pozostały czas)

Literatura:

J.-P. Serre, A Course in Arithmetic (Chapter VII)

D. Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Applications (in The 1-2-3 of Modular Forms)

J.S. Milne, Modular Functions and Modular Forms

J.S. Milne, Elliptic Curves

Efekty uczenia się:

Student potrafi konstruować formy modularne i dowodzić tożsamości pomiędzy nimi, rozumie geometryczne podstawy teorii oraz umie ją zastosować do udowodnienia niektórych klasycznych twierdzeń arytmetyki.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0-2b06adb1e (2024-03-27)