Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebry operatorów dające się widzieć II

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20AOW2 Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Algebry operatorów dające się widzieć II
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: (brak)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Algebry grafowe: algebry ścieżkowe, algebry ścieżkowe Leavitta, grafowe C*-algebry, od pushoutów

grafów do pullbacków grafowych C*-algebr.

Pełny opis:

Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie

są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością

nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów)

tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr.

Wykład rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia algebry ścieżkowej grafu zorientowanego (kołczanu),

która jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym

przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry

ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze

ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz

algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera.

Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując

inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy

zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta.

Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i

struktury ideałów grafowych C*-algebr.

Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez

wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się

kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten

kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to

jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.

Literatura:

1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136.

2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina.

3. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm.

4. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy.

Efekty uczenia się:

Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań

naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może

prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.

Metody i kryteria oceniania:

systematyczne uczestniczenie w zajęciach lub egzamin ustny

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Hajac
Prowadzący grup: Piotr Hajac
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.