Ewolucyjne równania różniczkowe cząstkowe. Przegląd podstawowych metod ich badania
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M20ERR |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Ewolucyjne równania różniczkowe cząstkowe. Przegląd podstawowych metod ich badania |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | (brak danych) |
Kierunek podstawowy MISMaP: | matematyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Tryb prowadzenia: | lektura monograficzna |
Skrócony opis: |
Przedstawimy szereg metod badania ewolucyjnych RRCz, który metodologicznie nie wykracza poza wstępny kurs. Opowiemy o stabilności rozwiązań stacjonarnych, falach biegnących, rozwiązaniach samopodobnych czy potokach gradientowych. Do ilustracji tych pojęć wykorzystamy mnogie przykłady równań. |
Pełny opis: |
Wykład jest poświęcony metodom jakościowego badania równań różniczkowych. Ważne będzie dla nas spojrzenie na zagadnienie ewolucyjne jak na (nieskończenie wymiarowy) układ dynamiczny. Wdzięcznym przykładem są równania reakcji-dyfuzji. Wiadomo z teorii równań różniczkowych zwyczajnych, że bardzo ważne jest badanie stabilności punktów stacjonarnych i orbit łączących je. Szczególnym przykładem takiego rozwiązania równania reakcji-dyfuzji jest fala biegnąca. Innym szczególnym ważnym przykładem są rozwiązania samopodobne. Pojawiają się one w różnych typach równań nieliniowych. Są kluczowe przy konstruowaniu fal uderzeniowych w hiperbolicznych prawach zachowania. Są zagadnienia zupełnie odmienne od wspomnianych wyżej równań reakcji-dyfuzji. Struktura równania upraszcza się, jeśli wiemy, że jest to układ gradientowy, lub ogólniej ma ono funkcję Lapunowa. Jednym z ważnym równań w takiej postaci jest równanie Cahna-Hilliarda, które jest czwartego rzędu. Dzięki funkcji Lapunowa będziemy mogli wykazać istnienie rozwiązań dla wszystkich czasów. Wykład jest przeznaczony dla wszystkich zainteresowanych równaniami, nie jest wymagana żadna wiedza wykraczająca poza zakres RRCz I. Poruszymy więcej zagadnień, niż te opisane wyżej. |
Literatura: |
Christian Kuehn, PDE dynamics. An introduction. Mathematical Modeling and Computation, 23. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2019 Alain Miranville, The Cahn-Hilliard equation. Recent advances and applications. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 95. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2019 Guido Schneider, Hannes Uecker, Nonlinear PDEs: A Dynamical Systems Approach, AMS, Providence, RI, 2017 |
Efekty uczenia się: |
Zna znaczenie badania stabilności położeń równowagowych. Zna znaczenie fal biegnących i rozwiązań samopodobnych do badania dynamiki układów. Zna przykłady potoków gradientowych, wie czym są zbiory omega-graniczne. |
Metody i kryteria oceniania: |
Warunkiem zaliczenia jest napisanie eseju zaliczeniowego na temat związany z wykładem. Ostateczna ocena wystawiana na podstawie rozmowy o eseju |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.