Górne i dolne szacowania dla procesów stochastycznych
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M20GDS |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Górne i dolne szacowania dla procesów stochastycznych |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Skrócony opis: |
Wykład odnosi się do nowoczesnych metod badania regularności trajektorii procesów stochastycznych. W spektrum takich metod znajdują się: minoryzacja Sudakowa, koncentracja miary oraz metody łańcuchowe. Kluczowym twierdzeniem teorii jest pochodząca od Talagranda charakteryzacja ograniczoności procesów Gaussowskich. Dzięki temu wynikowi można badać klasę procesów kanonicznych o wykładniczo zanikających ogonach. Teoria będzie uzupełniona o różne zastosowania w geometrii i analizie funkcjonalnej. |
Pełny opis: |
1. Ośrodkowość procesów. Charakteryzacja ograniczoności dla klasy procesów o odpowiednio regularnych przyrostach w terminach skończoności wartości oczekiwanej supremum procesu. 2. Warunek dostateczny na brak nieciągłości drugiego rodzaju dla procesów na odcinku. 3. Twierdzenie Kołmogorowa-Slutsky’ego - warunek dostateczny na istnienie ciągłej modyfikacji dla procesów. 4. Twierdzenie o miarach majoryzujących - najlepsze oszacowanie wartości oczekiwanej supremum dla ogólnych procesów stochastycznych o odpowiednio regularnych przyrostach w terminach geometrii zbioru indeksów. 5. Najlepsze oszacowanie dolne na wartość oczekiwaną dla klasy procesów stochastycznych o odpowiednio regularnych procesów. 6. Zastosowanie do charakteryzacji zbieżności szeregów ortogonalnych o zadanej klasie współrzędnych. 7. Procesy Gaussowskie - Twierdzenie Talagranda dowodzone metodą Van-Handel’a 8. Zastosowanie do badania procesów zdefiniowanych na elipsoidach. 9. Zastosowanie do badania problemu równomiernego rozłożenia losowych punktów wybieranych w kwadracie. 10. Ogólna metoda schematu partycji - szacowania dolne dla procesów kanonicznych. 11. Badanie procesów Bernoulliego - ogólna minoryzacja Sudakowa, twierdzenie o porównywaniu, zasada kontrakcji, 12. Procesy kanoniczne, zasada kontrakcji - ostatecznie charakteryzacja ograniczoności procesów kanonicznych o wykładniczo malejących ogonach. |
Literatura: |
Literatura: 1. Skrypt - Chaining, W. Bednorz, 2021 2. Upper and lower bound for stochastic processes, M. Talagrand, 2014, Springer-Verlag. 3. Probability in Banach spaces, M. Ledoux, M. Talagrand, 2006, Springer. 4. Convergence of probability measures, P. Billingsley, 1999, Willey & Sons. 5. The theory of stochastic processes, I. Gihman, A. Skorohod, 1974, Springer-Verlag. 6. Concentration of probability measures, M. Ledoux, 2001, AMS. |
Efekty uczenia się: |
Efekty kształcenia: Student: 1. wie na czym polega konieczność rozważania ośrodkowych modyfikacji. 2. wie jak badać własność cad-lag, potrafi pokazać, że każdy martyngał adaptowalny od prawostronnie ciągłej filtracji ma modyfikację cad-lag. 3. potrafi sformułować ideę metody łańcuchowej i zastosować ją do badania ograniczoności procesów. 4. zna sformułowanie Twierdzenia miarach majoryzujących. 5. zna sformułowanie problemu zbieżności szeregów ortogonalnych o zadanych współczynnikach i podstawowe twierdzenia (warunki dostateczne i konieczne). 6. wie co to jest lemat Slepiana i jak stosuje się go do wykazania minoryzacji Sudakowa. 7. zna zagadnienie badania procesów stochastycznych na elipsoidach. 8. zna problem równomiernego rozłożenia punktów losowych w kwadracie. 9. wie co to jest schemat partycji. 10. potrafi sformułować wynik o inoryzacji dla procesów Bernoulliego. 11. umie sformułować główne Twierdzenie o dekompozycji procesów Bernoulliego. 12. zna Twierdzenie o porównywaniu procesów Bernoulliego oraz zasadę kontrakcji. 13. potrafi sformułować warunek alpha-regularności. 14. potrafi oszacować momenty sum zmiennych symetrycznych zmiennych niezależnych alpha-regularnych ze współczynnikami. 15. wie jak dowodzi się minoryzacji dla procesów kanonicznych. 16. potrafi sformułować Twierdzenie o charakteryzacji ograniczoności dla ustalonego procesu kanonicznego alpha-regularnego. |
Metody i kryteria oceniania: |
ocena na podstawie pracy studenta w trakcie semestru i egzaminu |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.